Đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2014 2015 môn Toán - Trường Thcs Tân Trường

PHÒNG GD & ĐT CẨM GIÀNG TRƯỜNG THCS TÂN TRƯỜNG

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Năm học 2014 – 2015

MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút

(Đề này gồm 5 câu, 1 trang)

Câu 1 (2 điểm) : Cho biểu thức:

A = ; với x : 1

1

1

3

1

3

 

  



      x x x

x

x x

x

1

)1 ).( 1 (

 

 

x x

x x .1 ;0   x

a) Rút gọn A.

b) Tính giá trị của A với x =

5 4 9

1

 Câu 2 (2 điểm)

Tìm các số thực x, y, z thoả mãn:

2009 1 2008 1 2010 1 3 2008 2009 2010 4 y x z x y z             Câu 3 (2 điểm): Cho các số thực dương x, y thoả mãn x + y 6 

Tìm giá trị nhỏ nhất của P = y x y x 6 8 2   

Câu 4 (3 điểm) :

Cho đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB, vẽ tia Ax AB và tia By AB. Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB và C là   một điểm trên tia Ax. Vẽ tia Cz sao cho , tia Cz cắt By tại D (AC<BD). A A OCz OCA  Hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại E; kẻ OH CD, kẻ HK AB. Chứng   minh rằng:

a) OC OD.  b) OC2.HD = OD2.HC

c) BE AE BK AK HB HA   2

2

Câu 5 (1 điểm) Cho tam giác ABC có các góc nhọn, thoả mãn AB + AC = 2BC.

Chứng minh rằng: 2.SinA = SinB + SinC

---------------- Hết ----------------

ThuVienDeThi.com

PHÒNG GD & ĐT CẨM GIÀNG TRƯỜNG THCS TÂN TRƯỜNG

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Năm học 2014 - 2015

MÔN: TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm 2 trang)

Câu ý Đáp án Điểm Câu 1 (2 điểm) a A= 3 ( 1) 3 ( 1) 1 . ( 1)( 1) ( 1)( 1) x x x x x x x x x x x x             0,25

)1 )( 1 (

1 . )1 )( 1 (

1 3 3 3

 

 

  

     

x x

x x

x x x

x x x x x

0,25

= 2

2

)1 )( 1 (

1 . 1

)1 (

  



x x x

x

0,25

= 1 1

 x

0,25

b Ta có: x = 5 4 9 ) 5 4 9 ).( 5 4 9 (

5 4 9

5 4 9

1    

   0,25

) 5 4 8 )( 5 4 8 (

5 4 8

5 4 8

1

1 5 4 9

1

 

       A 0,25

= 4

5 2 16

5 4 8 80 64

5 4 8        

0,5 Câu 2 (2 điểm) Điều kiện: x > 2006; y > 2007; z >2008 Đặt ; ; 2008 0 x a    2009 0 y b    2010 0 z c    0,25

Đẳng thức đã cho trở thành:

4 3 1 1 1

2 2 2      

c c b b a a 0,25

 0 ) 4 1 1 1 ( ) 4 1 1 1 ( ) 4 1 1 1 ( 2 2 2          c c b b a a

0,5

(  0 ) 2 1 1 ( ) 2 1 1 ( ) 2 1 1 ( 2 2 2       c b a

0,5









 



2 2

2

c b a



2012

2013 2014

x

y z

       0,5

Câu 3 (2 điểm) y x y x y x y x y x P 6 8 2 3 2 1 ) ( 2 1 6 8 2           0,25

Do x + y 3 6. 2 1 ) ( 2 1 6      y x 0,25

Áp dụng bất đẳng thức Cau-Chy ta có

ThuVienDeThi.com

6 6 . 2 3 2 6 2 3

4 8 . 2 1 2 8 2 1

  

  

y y y y

x x x x

0,25

13 6 4 3     P 0,5

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

  

  

  



  









 



2 4

6 2 3

8 2 1

6 0 ,

y x

y y

x x

y x

y x

Vậy giá trị nhỏ nhất của là 3 khi x= 4 và y=2

0,5

0,25

Câu 4 (3 điểm)

Vẽ hình đúng

z

y

x

A B

E

O

C

D

H

K

0,25

a a) Ta có AOC = HOC ( , ;CO   0 90 ˆ ˆ  H A A A ACO HCO  chung)

và (2 góc tương ứng) OH OA   A A AOC COH  0,25

OC là phân giác góc AOH (1)  0,25 Tương tự ta có OD là phân giác của góc BOH (2) 0,25 Mà (hai góc kề bù ) OC OD (đpcm) A A 0 180 AOH HOB     0,5 b Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông OCD ta có: OC2 = CH.CD OD2 = DH.CD 0,25

 DH CH CD DH

CD CH OD OC   . .

2

2 0,25

(đpcm) HC OD DH OC . . 2 2   0,25 c Do OA = OH= OB (cmtrên) AHB vuông tại H (tam  giác có trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

AH BH   0,25

ThuVienDeThi.com