Một số Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 năm học 2014 - 2015 môn Toán

TRƯỜNG THCS CAO VIÊN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2014 - 2015

Môn: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề thi gồm có: 01 trang

Bài 1: (6 điểm)

a) Cho        1 1 1 1

x y xy P

x y y x y x x y         

1. Tìm điều kiện của x,y để biểu thức P xác định và rút gọn P 2. Tìm x,y nguyên thỏa mãn phương trình: P = 2 b) Chứng minh rằng: Với mọi n N thì n + n +1 không chia hết cho 9 2 Bài 2: (4 điểm)

a) Giải phương trình :  

2 2 17 3 x x   

b) Cho các số thực dương a,b thỏa mãn: a + b = a + b = a + b 100 100 101 101 102 . 102 Tính giá trị biểu thức: P = a + b 2015 2015 Bài 3: (3 điểm)

a/ Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 2 2 2 3 4 19 x y x   

b/ Cho a,b,c > 0. Chứng minh :  

3

2 2 2 28 a b c ab bc ca a b c abc         Bài 4: (6 điểm)

Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc đường tròn tâm O khác A,B.Các tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại A và M cắt nhau tại E. Vẽ MP vuông góc với AB(P AB), vẽ MQ vuông góc với AE ( Q AE) 1.Chứng minh rằng: Bốn điểm A,E,M,O cùng thuộc một đường tròn và tứ giác APMQ là hình chữ nhật. 2. Gọi I là trung điểm của PQ. Chứng minh O,I,E thẳng hàng 3. Gọi K là giao điểm của EB và MP. Chứng minh EAO đồng dạng với  MPB suy ra K là trung điểm của MP 4. Đặt AP = x. Tính MP theo x và R.Tìm vị trí của điểm M trên đường tròn (O) để hình chữ nhật APMQ có diện tích lớn nhất. Bài 5: (1 điểm)

Tìm nghiệm nguyên ,dương của phương trình: xy+yz+zx=xyz+2

- Hết -

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS CAO DƯƠNG

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9

Năm học 2014-2015.

Thời gian: 150 phút. Bài 1. (6 điểm)

1.Cho biểu thức: A =  

  



     

  





    

1 2 1 3 : 1

3 2 1 1

x x x x

x x x x

với x .1 ;0   x

ThuVienDeThi.com

a. Rút gọn A. b. Tìm x để A nguyên. 2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên a ta có a3 + 11a 6 

Bài 2. (4 điểm)

1. Giải phương trình:

12 2 16 2 4 4 2        x x x x

2. Cho các số dương x,y,z thoả mãn 





  

  

  

15

8

3

x z zx

z y yz

y x xy

Tính giá trị của biểu thức P = x + y + z. Bài 3. (3 điểm)

1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

x2 + 2y2 + 3xy – x – y + 3 = 0. 2. Cho 3 số dương a,b,c thoả mãn a + b + c 2015.Chứng minh rằng 

2015 3 5 3 5 3 5

2

3 3

2

3 3

2

3 3

 

  

  



c ca

a c b bc

c b a ab

b a

Bài 4. (6 điểm)

Cho đường tròn tâm O, đường thẳng d cố định nằm ngoài đường tròn, M di động trên đường thẳng d, kẻ 2 tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (O,R), OM cắt AB tại I.

a) Chứng minh tích OI.OM không đổi. b) Tìm vị trí của M để MAB đều.  c) Chứng minh rằng khi M di động trên d thì AB luôn đi qua điểm cố định. Bài 5(1điểm)

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: (x + y)4 = 40y + 1.

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS CAO DƯƠNG

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Năm học 2014-2015.

Môn thi: Toán Bài Nội dung Điểm Bài 1 (6 điểm)

a.

A =   1 )1 (

2 2 3 : )1 )( 1 (

)1 )( 3 (

1

1

 

    

  



 

   



x x

x x

x x

x x

x

x

= ........=

1

4

 x b. Vì x 0  1 1 0      x x

2đ

0,5

ThuVienDeThi.com