Tuyển tập các đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 9

Tuyển tập các đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 9 2014

Email: maithequynh160282@gmail.com. 1

(Thời gian làm bài 150 phút.)

Câu 1. (4 điểm)

1. Cho biểu thức: A = x 1 x 2 x 3 x 3 2 : x 1 x 1 x 1 x 1

                    

,với x 0;x 1   .

a) Rút gọn A. b) Tìm x để A nguyên. 2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên a ta có a3 + 11a  6 Câu 2. (4 điểm)

1. Giải phương trình:

2 x 4 x 4 2 x 16 2x 12       

2. Cho các số dương x, y, z thoả mãn

xy x y 3 yz y z 8 zx z x 15

             

Tính giá trị của biểu thức P = x + y + z. Câu 3. (5 điểm) 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 + 2y2 + 3xy – x – y + 3 = 0. 2. Cho 3 số dương a,b,c thoả mãn a + b + c  2015.Chứng minh rằng

3 3 3 3 3 3

2 2 2 5a b 5b c 5c a 2015 ab 3a bc 3b ca 3c          3. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: (x + y)4 = 40y + 1. Câu 4. (6 điểm) Cho đường tròn tâm O, đường thẳng d cố định nằm ngoài đường tròn, M di động trên đường thẳng d, kẻ 2 tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (O,R), OM cắt AB tại I. a) Chứng minh tích OI.OM không đổi. b) Tìm vị trí của M để MAB đều. c) Chứng minh rằng khi M di động trên d thì AB luôn đi qua điểm cố định.

Câu 5. (1điểm) Cho a > 0, b > 0 và 1 1 1 a b  . Chứng minh rằng:

a b a 1 b 1.     --------------Hết---------------- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Đề số 1

ThuVienDeThi.com

Tuyển tập các đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 9 2014

Email: maithequynh160282@gmail.com. 2

(Thời gian làm bài 150 phút.)

Câu 1. ( 6 điểm )

1. Cho biểu thức: 2 5 x 1 x 1 A 1 ( ): 4x 1 1 2 x 1 2 x 4x 4 x 1         

a) Rút gọn A b) Tìm giá trị nguyên của x để A đạt giá trị nguyên

c) Tính giá trị của A với

3 x 7 49(5 4 2)(3 2 1 2 )(3 2 1 2 2 )       . 2. Tìm tất cả các số tự nhiên abc có 3 chữ số sao cho :

 

2

2 abc n 1

cba n 2

      

, với n là số nguyên lớn hơn 2.

Câu 2. ( 4 điểm )

1. Giải phương trình sau: 2 x 3 1 x 3 x 1 1 x       

2. Cho x,y,z là ba số thỏa mãn: x.y.z 1  và 1 1 1 x y z x y z      . Tính giá trị của

biểu thức:     2013 2014 2015 P x 1 y 1 z 1     Câu 3. ( 3 điểm ) 1. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : x2 + xy + y2 = x2y2 2. Cho a, b và c là các số thực không âm thỏa mãn a b c 1   . Chứng minh rằng ab bc ca 1 c 1 a 1 b 1 4       .

Câu 4.( 6 điểm ) Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tia Ax, By vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm C, trên tia By lấy điểm D sao cho góc COD = 900. Kẻ OH vuông góc với CD tại H. a) Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn tâm O đường kính AB;

b) Chứng minh

2 AB AC.BD 4  ;

c) Nêu cách xác định vị trí điểm C trên tia Ax để diện tích tam giác COD bằng diện tích tam giác AHB. Câu 5. ( 1 điểm ) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : x2+2y2 +2xy +3y- 4 = 0

--------------Hết---------------- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Đề số 2

ThuVienDeThi.com

Tuyển tập các đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 9 2014

Email: maithequynh160282@gmail.com. 3

(Thời gian làm bài 150 phút.)

Câu 1. (4 điểm) a. Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn điều kiện:

2 2 a a 2b b    . Chứng minh rằng a b  và a b 1   đều là các số chính phương. b. Tìm số tự nhiên n sao cho số 2015 có thể viết được thành tổng của n hợp số nhưng không thể viết được thành tổng của n 1 hợp số. Câu 2. (5 điểm): a. Giải phương trình:

2 2 6x 1 9x 1 6x 9x    .

b. Giải hệ phương trình:

2 2

3 3 x y xy 2

x y 2x 4y

        

Câu 3. (3 điểm) Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: abc 1 .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 1 1 P a 2b 3 b 2c 3 c 2a 3          .

Câu 4. (6 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) lấy điểm M (M không trùng với B, C). Gọi D, E, F lần lượt là các điểm đối xứng với M qua BC, CA, AB. Chứng minh rằng: a. Ba điểm D, E, F thẳng hàng.

b. AB AC BC + = MF ME MD .

Câu 5. (2 điểm). Cho 121 điểm phân biệt nằm trong hoặc trên các …