Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS Lâm Thao năm học 2013 2014 môn Toán

PHÒNG GD&ĐT LÂM THAO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2013 – 2014

Môn: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian thi: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

Đề thi có 01 trang

ĐỀ BÀI

Câu 1 (4 điểm): Cho biểu thức 3 2 2 : 1 ; 2 3 5 6 1 A x x x x x x x x x

                        Với ; x 0; x 4; x 9    a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị của A khi . 6 2 5 x  

c) Với giá trị nào của x thì đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất 1 A đó? Câu 2(3 điểm):

a) Chứng minh : Với mọi số tự nhiên n thì an = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1

là số chính phương.

b) Giải phương trình: y - 2013 1 x - 2012 1 z - 2014 1 3 x - 2012 y - 2013 z - 2014 4      

Câu 3 (4 điểm):

a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2x2 + 4x = 19 – 3y2. b) Tìm các chữ số a, b sao cho chia hết cho 45 a56b

Câu 4: (7 điểm)

1. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC=2R. Điểm A di động trện nửa đường tròn. Gọi H là hình chiếu của điểm A lên BC. Gọi Dvà E lần lượt là hình chiếu của H lên AC và AB. a. Chứng minh: AB . EB + AC . EH = AB2 b.Xác định vị trí điểm A sao cho tứ giác AEHD có diện tích lớn nhất? Tính diện tích lớn nhất đó theo R.

2. Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh là a, vẽ một đường thẳng cắt cạnh BC ở M và cắt đường thẳng DC ở I.

Chứng minh rằng: . 2 2 2 1 1 1 AM AI a  

Câu 5 ( 2điểm): Cho x, y, z là 3 số thực dương thỏa mãn xyz=1.

Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 1 1 x y y z z x         

..................Hết..................... Thí sinh không được sử dụng tài liệu.Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh..................................................SBD..............................

ThuVienDeThi.com

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI

Môn: Toán 9 Năm học: 2013-2014

Câu 1 (4 điểm):Cho biểu thức 3 2 2 : 1 ; 2 3 5 6 1 A x x x x x x x x x

                        Với (*) x 0; x 4; x 9    a) Rút gọn biểu thức A; b) Tìm giá trị của A khi ; 6 2 5 x  

c) Với giá trị nào của x thì đạt giá trị nhỏ nhất? tìm giá trị nhỏ nhất đó? 1 A Lời giải sơ lược Điểm a) Với điều kiện ta có:  *

  

3 2 2 1 : 2 3 1 1 2 3 A x x x x x x x x x x x

                            

0,50

  

9 4 2 1 :

1 2 3

x x x

x x x

             

0,50

  

3 1 :

1 2 3

x

x x x

           0,50

. 1 1 1 : 2 1 2 x x x x

      0,50

b) Dễ thấy : thoả mãn điều kiện. Khi đó:  

2 6 2 5 5 1 x    

.  

2 5 1 5 1 x    

0,50

Do vậy, giá trị của biểu thức A là: 5 1 1 5 5 1 2 5 3    

0,25

. 3 5 5 4

  0,25

c) Viết lại, = . Để có GTNN thì có GTLN, hay 1 A

3 1

1 x 



1 A

3

1 x 

1 x 

có GTNN.

0,25

Ta có: , dấu "=" xảy ra khi x = 0. 1 1 x 

Giá trị nhỏ nhất của là , xảy ra khi x = 0. 1 A

3 1 1 3 2 0 1    

0,75

Câu 2(3 điểm):

a) Chứng minh : Với mọi số tự nhiên n thì an = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1

là số chính phương.

b) Giải phương trình: y - 2013 1 x - 2012 1 z - 2014 1 3 x - 2012 y - 2013 z - 2014 4      

ThuVienDeThi.com