Đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2014 - 2015 môn Toán - Trường Thcs Bích Hòa

phòng gD & ĐT thanh Oai Đề thi học sinh giỏi lớp 9 TRƯỜNG THCS BÍCH HÒA Năm học 2014 - 2015

Môn: Toán ( Thời gian: 150 phút không kể thời gian giao đề)

Câu 1: ( 6 điểm ).

1) Cho biểu thức: 2 5 1 1 1 ( ) : 4 1 1 2 1 2 4 4 1 x x A x x x x x          a/ Rút gọn A

b/ Tìm giá trị nguyên của x để A đạt giá trị nguyên

c/ Tính giá trị của A với . 3 7 49(5 4 2)(3 2 1 2 )(3 2 1 2 2 ) x      

2) Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số sao cho : abc

với n là số nguyên lớn hơn 2.  

2

2 1

2

abc n

cba n

       Câu 2: ( 4 điểm ).

1) Giải phương trình sau: x x x x        1 1 3 1 3 2

2) Cho là ba số thỏa mãn: và . , , x y z . . 1 x y z  1 1 1 x y z x y z     

Tính giá trị của biểu thức:     2013 2014 2015 1 1 1 P x y z    

Câu 3: ( 3 điểm ). 1) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : x2 + xy + y2 = x2y2

2) Cho a, b và c là các số thực không âm thỏa mãn . 1 a b c   

Chứng minh rằng . 1 1 1 1 4 ab bc ca c a b      

Câu 4: ( 6 điểm ). Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tia Ax, By vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm C, trên tia By lấy điểm D sao cho góc COD = 900. Kẻ OH vuông góc với CD tại H.

a) Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn tâm O đường kính AB;

b) Chứng minh ;

2 . 4 AB AC BD 

c) Nêu cách xác định vị trí điểm C trên tia Ax để diện tích tam giác COD bằng diện tích tam giác AHB. Câu 5: ( 1 điểm ). Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : x2+2y2 +2xy +3y- 4 = 0

—————————————– Hết ——————————————–

Người ra đề Người duyệt đề Ðặng Ngọc Trình

đề chính thức

ThuVienDeThi.com

phßng gD ĐT thanh Oai TRƯỜNG THCS BÍCH HÒA

hướng dẫn chấm môn toán 9 Năm học: 2014 - 2015

Câu Điểm

Câu 1.2 (2 ð)

Viết được (2)

2

2 100 10 1

100 10 4 4

abc a b c n

cba c b a n n

      

      

Từ (1) và (2) ta có 99 ( a –c ) = 4n – 5 => 4n – 5  99 (3) Mặt khác : 100 2 2 1 999 101 1000 11 31 n n n         (4) 39 4 5 119 n     Từ (3) và (4) => 4n – 5 = 99 => n = 26 Vậy số cần tìm 675 abc 

0,5

0,5

0,5

0,5

Câu 1.1 (4 ð)

a/Cho biểu thức A= 1- 2 5 1 1 : 4 1 1 2 1 2 4 4 1 x x x x x x x

               

ĐK: x 1 0; ; 1 4 x x   

A= 1-    

2 2 5 1 1 : 2 1 2 1 2 1 (2 1) 2 1

x x x x x x x

               

A=1-

2 4 2 5 2 1 (2 1) . (2 1)(2 1) 1 x x x x x x x        

A=1- 1 2 1 2 1 2 . 1 2 1 1 2 1 1 2 x x x x x x x          b/ Tìm x để A nguyên. Z 

Ư(2) 2 1 2 1 2 A Z Z x x       Do 0; 1; 0 x x x Z x      Vậy x=0 thì A có giá trị nguyên.

c/Với x= 3 7 49(5 4 2)(3 2 1 2 )(3 2 1 2 2 )      

x=-7 3 49(5 4 2)(5 4 2) 7. 7 49     

. Vậy A 7 x   2 2 1 2.7 13    

0,5đ

0,5đ

0,5đ

0,5đ

1đ

0,5đ 0,5đ

(1)

ThuVienDeThi.com

Câu 2.1 (2đ)

Câu 2.2 (2ð)

--------

Câu 3.1 (2ð)

1. (ĐK: ) x x x x        1 1 3 1 3 2 1 1    x

Đặt 

 

 

     

 

 

 

ab x

a x b a b x

a x

2

2

1

2 3 ) 0 , ( 1

1

Thay vào phýõng trình ðã cho ta có:

       0 2 1 0 2 . 3 3 2 2 2                b a a b a b a b a ab a





 

  2

1

b a

a

 Với (thỏa mãn) 0 1 1 1       x x a Với 0 1 1 4 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2                    x x x x x x x b a (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất . 0  x ----------------------------------------------------------------------------------------------

Từ ( vì ) 1 1 1 xy yz zx x y z x y z xy yz xz x y z xyz               1 xyz 

Xét tích       1 1 1 1 1 x y z xy x y z         

1 1 1 0 xyz xy xz yz x y z xy xz yz x y z             

1 0 1

1 0 1

1 0 1

x x

y y

z z

                  Lần lượt thay hoặc hoặc vào biểu thức P ta đều được 1 x  1 y  1 z  0 P 

----------------------------------------------------------------------------------------------

*Với x 2 và y 2 ta có:

2 2 2

2 2 2 4

4

x y x

x y y

      x2y2  2 (x2 …