Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 năm học 2014- 2015 môn Toán - Trường THCS Bình Minh

Phòng GD huyện Thanh Oai Trường THCS Bình Minh

Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 năm học 2014- 2015 Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (6®) a. Cho biểu thức:

2 1 4 . 3 1 1 x x P

x x x            1.Rút gon P

2.Tìm các giá trị của x để P= 8

9 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P b. Chứng minh rằng

A= 1 1 1 1 1 ... 4 1 2 3 4 5 6 7 8 79 80            Bài 2:(4®)

a) Giải phương trình:

2 2 4 2 6 2 x x x x x x       

b)Chứng minh rằng : n2 + 7n + 2014 không chia hết cho 9 với mọi số tự nhiên n. Bài 3:(3®)

a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 1 + x + x2 + x3 = y3

b)Cho a,b,c là các số dương và a+b+c=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= 3 3 3 c b a   Bài 4:(6®) Cho đường tròn tâm O bán kính R, từ một điểm S ë ngoài đường tròn vẽ các tiếp tuyến SA.SB ( A, B là các tiếp điểm). Kẻ đường kính AC của (O) cắt AB tại E. Chứng minh:

a) Bốn điểm A,O,S,B thuộc cùng một đường tròn. b) AC2 = AB.AE c) SO // CB d) OE vuông góc với SC Bài 5: (1®) Tìm a,b là các số nguyên dương sao cho: a + b2 chia hết cho a2b-1

ThuVienDeThi.com

Đáp án + biểu điểm Bài 1: a) (4®) 1.(2®) Tìm được ĐK: 0 x 

2 1 4 . 3 ( 1)( 1) 1

2 ( 1) 4 . 3 ( 1)( 1)

1 4 . 3 ( 1)( 1)

4 3( 1)

x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x

x x x

           

              

 

  



 

0,25®

0,5®

0,5®

0,5®

0,25®

2. (1®)

P= (TMĐK) 1 2 8 1 2 5 2 0 4; 9 4 x x x x        1®

3.Với x , minP=0 khi x=0 0;3( 1) 0 x x     0 P  

Với x>0,P= vì nên . Do đó P . 4

1 3( 1) x

x  

1 2 x

x   1 1 1 x

x   4 3 

Dấu ”=” xảy ra khi x=1. Vậy maxP= khi x=1 4 3

0,5®

0,25®

0,25®

b. A= 1 1 1 1 ... 1 2 3 4 5 6 79 80        

A> 1 1 1 1 ... 2 3 4 5 6 7 80 81        

2A > 1 1 1 1 1 1 ... 1 2 2 3 3 4 4 5 79 80 80 81             2A > 2 1 3 2 4 3 5 4 ... 81 80           2A > (đpcm) 81 1 9 1 8   4 A  

1®

1®

Bài 2:(4®) a) (2®) ĐK: x>0 Nhận thấy với mọi x 2 2 2 6 2 x x x x     

0,25®

ThuVienDeThi.com

Biến đổi:

2 2

2 2

2 2

2 2

4 2 6 2

4 4

2 6 2

2 6 2

x x x x x x x x

x x x x x

x x x x x

      

        

      

 2 4 2 2 x x x    2 4 3 2 2 2 2 4 0 x x x x x x         

3 2 ( 1)( 2 4 4) 0 x x x x      

3 2 1( 2 4 4 0 0) x dox x x khix       

0,5® 0,25®

0,5®

0,5®

b)(2đ) Giả sử n2 +7n +2014 9 

2 2 2 7 2014 3 4 28 8056 3 (2 7) 8007 3 n n n n n             vì 8007 3  2 2 (2 7) 3 (2 7) 9 n n       mà 8007 không chia hết cho 9. Nên (2n+7)2+8007 không chia hêt cho 9 không chia hết cho 9 mâu thuẫn với giả sử 2 7 2014 n n    nên điều giả sử là sai. Vậy n2+7n +2014 không chia hết cho 9 (đpcm)

0,5®

0,5®

1®

Bài 3: (3điểm)

a. (1,5d) Giải: Ta có x2+x+1=(x+ )2 + >0 1 2

3 4

5x2+11x+7=5(x+ >0 2 11 19 ) 10 20 

Nên(1+x+x2+x3)-(1+x+x2)<1+x+x2+x3<(1+x+x2+x3)+(5x2+11x+7)

x3<1+x +x2+x3<(x+2)3 hay x3<y3<(x+2)3 .Do đó y3=(x+1)3 

=>(x+1)3=1+x+x2+x3 x(x+1)=0   0

1 x x

    *x=0=>y=1 *x=-1=>y=0 Vậy nghiệm nguyên của PT là : (0;1), (-1;0)

b) (1,5®)

ta có a>0 nên ( bđt côsi cho 3 số dương) 3 3 3 1 1 1 1 3 . . 27 27 27 27 3 a a a    

3 2 3 27 a a   

0,25® 0,25®

0,5®

0,5®

0,5®

ThuVienDeThi.com