Đề thi học sinh giỏi Toán 9 năm học 2014-2015 Trường THCS Cao Dương

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS CAO DƯƠNG

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9

Năm học 2014-2015.

Thời gian: 150 phút. Bài 1. (6 điểm)

1.Cho biểu thức: A =  

  



     

  





    

1 2 1 3 : 1

3 2 1 1

x x x x

x x x x

với x .1 ;0   x a. Rút gọn A. b. Tìm x để A nguyên. 2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên a ta có a3 + 11a 6 

Bài 2. (4 điểm)

1. Giải phương trình:

12 2 16 2 4 4 2        x x x x

2. Cho các số dương x,y,z thoả mãn 





  

  

  

15

8

3

x z zx

z y yz

y x xy

Tính giá trị của biểu thức P = x + y + z. Bài 3. (3 điểm)

1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

x2 + 2y2 + 3xy – x – y + 3 = 0. 2. Cho 3 số dương a,b,c thoả mãn a + b + c 2015.Chứng minh rằng 

2015 3 5 3 5 3 5

2

3 3

2

3 3

2

3 3

 

  

  



c ca

a c b bc

c b a ab

b a

Bài 4. (6 điểm)

Cho đường tròn tâm O, đường thẳng d cố định nằm ngoài đường tròn, M di động trên đường thẳng d, kẻ 2 tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (O,R), OM cắt AB tại I.

a) Chứng minh tích OI.OM không đổi. b) Tìm vị trí của M để MAB đều.  c) Chứng minh rằng khi M di động trên d thì AB luôn đi qua điểm cố định. Bài 5(1điểm)

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: (x + y)4 = 40y + 1.

ThuVienDeThi.com

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS CAO DƯƠNG

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Năm học 2014-2015.

Môn thi: Toán Bài Nội dung Điểm Bài 1 (6 điểm)

a.

A =   1 )1 (

2 2 3 : )1 )( 1 (

)1 )( 3 (

1

1

 

    

  



 

   



x x

x x

x x

x x

x

x

= ........=

1

4

 x b. Vì x 0  1 1 0      x x

4 4 1

4      A x

Đồng thời 0 0 1

4 0 1        A x x

  4;3;2;1  A

A 1 2 3 4 x 9(TM) 1(loại) (TM) 9 1 0(TM)

Kết luận: x

   0; 9 1 ;9

2. Ta có a3 + 11a = a3 – a + 12a = a.(a – 1).(a + 1) + 12a. Chứng minh a.(a – 1).(a + 1) 2  a.(a – 1).(a + 1) 3  a.(a – 1).(a + 1) 6   mà 12a 6    a a.(a – 1).(a + 1) + 12a  6  Vậy a3 + 11a 6    a

2đ

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5đ

1 đ

0,5đ Bài 2 (4 điểm)

1. Điều kiện x 4  Đặt (a > 0, b b x a x     4 , 4 ) 0 

x b a 2 2 2    Ta có a + b = 2ab + a2 + b2 - 12

       0 3 4

0 12 2

     

     

b a b a

b a b a

a + b - 4 = 0 (vì a > 0, b nên a + b + 3 > 0)  0 

0,25đ

0,75đ

ThuVienDeThi.com

Bài 3 (3 điểm)

) ( 5

1 4

4 4 8 16 4

4 4 4

0 4 4 4

TM x

x

x x x

x x

x x

 

  

      

    

     

Kết luận x = 5

2. 





  

  

  

15

8

3

x z zx

z y yz

y x xy







  

  

  



16 )1 )( 1 (

9 )1 )( 1 (

4 )1 )( 1 (

x z

z y

y x

[(x + 1 )(y + 1)(z + 1)]2 = 476  Vì x,y,z là các số dương nên (x + 1 )(y + 1)(z + 1) = 24

6 1 ; 2 3 16

24 1 ; 3 8 9 24 1          z y x

x = y = 0,5; z = 5.  ; 3 5

P = x + y + z =  6 43

1. Giải phương trình nghiệm nguyên. x2 + 2y2 + 3xy - x - y + 3 = 0.

....... (x + y)(x + 2y - 1) = - 3   Vì x,y nguyên nên x + y và x + 2y - 1 là các ước của - 3. Ta có bảng sau:

x + y 1 -3 -1 3 x + 2y -1 -3 1 3 -1 x 4 -8 -6 6 y -3 5 5 -3 Kết luận nghiệm (x; y) là (4; 3), (-8;5), (-6; 5), (4; -3). 2. Chứng minh

  0 0

3 2 6 5 )1( 2 3

5

2 3 2 2 3

2 2 2 3 3 3

2

3 3

        

        



b a b a b ab b a a

ab b a b a a b a b a a ab

b a

Mà a > 0, b > 0 nên a + b > 0 và (a – b)2 0  (a – b)2(a + b) 0 (1) luôn đúng.    Chứng minh tương tự ta có:

) 3 ( 2 3 5

) 2 ( 2 3 5

2

3 3

2

3 3

a c a ca

a c

c b b bc

c b

  



  



0,5đ

0,5đ

0,5đ

0,25đ 0,25đ

0,5đ

0,5đ

0,75đ

0,5đ

0,25đ

0,5đ

0,25đ

0,25 đ

ThuVienDeThi.com