Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Thanh Oai năm học 2014 - 2015 môn thi Toán

PHÒNG GD-ĐT THANH OAI

TRƯỜNG THCS CỰ KHÊ

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014 - 2015

MÔN THI : TOÁN Thời gian : 150 phút ( Không kể thời gian giao đề)

Bài 1(6đ)

1) Cho biểu thức 2 3 3 3 3 1 3 3 27 3 x Q x x x x

                   a/ Tìm điều kiện của Q và rút gọn Q b/ Tính giá trị của Q khi 4 7 4 7     x 2) Chứng minh rằng A = 13 + 23 + 33 + ...+ 1003 chia hết cho B = 1 + 2 + 3 + ... + 100

Bài 2: (4đ)

1) 2013 4 8052 3     x x

2)) Cho abc = 1.Tính S = 1 1 1 1 1 1 a ab b bc c ac        Bài 3: (3đ) 1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 + 2y2 + 2xy + 3y – 4 = 0 2) Biết rằng a,b là các số thoả mãn a > b > 0 và a.b = 1

Chứng minh :

2 2

2 2 a b a b    Bài 4: (6,0 đ)

Cho nửa đường tròn đường kính BC = 2R, tâm O cố định. Điểm A di động trên nửa đường tròn. Gọi H là hình chiếu của điểm A lên BC. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H lên AC và AB.

a) Chứng minh tam giác ABC vuông b)Chứng minh: AB . EB + AC . EH = AB2 c) Xác định tam giác ABC sao cho tứ giác AEHD có diện tích lớn nhất? Tính diện tích lớn nhất đó theo R. Bài 5: (1đ) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

2( ) 16 3 x y xy   

----HẾT----

ThuVienDeThi.com

TRƯỜNG THCS CỰ KHÊ HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Năm học 2014 – 2015 Môn thi : Toán

Bài Tóm tắt lời giải Điểm

Bài 1 Câu 1a

(2đ)

1.a) ĐKXĐ: x 0; x  3

Q =  

  

    

  



   

1 3

3 27

3

3 3

3

3 2 x x

x x x

Q =  

  

    

  



      x

x x

x x x x x 3

3 3

) 3 3 )( 3 (

3

3 3

3 2

2 2

=  

  

    

  



  

 

x

x x

x x x

x

3

3 3

) 3 3 )( 3 (

3 3 ) 3 ( 2

2

3 1  

x

0,5

0,5

0,5

0,5

Bài 1 Câu 1b

(2 đ)

1.b) Ta có: 4 7 4 7     x

   

2 2

8 2 7 8 2 7 2 2

1 7 1 7

2 2

1 7 7 1 2 2

2

   

   

   



x

x

x

x

Thay x = vào Q ta có: 2

3 2 3 2

1      Q

0,5

0,5

0,5

0,5

Bài 1 Câu 2

(2 đ)

2. Ta có: B = (1 + 100) + (2 + 99) + ...+ (50 + 51) = 101. 50

Để chứng minh A chia hết cho B ta chứng minh A chia hết cho 50 và

101

Ta có: A = (13 + 1003) + (23 + 993) + ... +(503 + 513)

= (1 + 100)(12 + 100 + 1002) + (2 + 99)(22 + 2. 99 + 992) + ... + (50 +

51)(502 + 50. 51 + 512) = 101(12 + 100 + 1002 + 22 + 2. 99 + 992 + ... +

0,5

0,25

0,25

0,25

0,25

ThuVienDeThi.com

502 + 50. 51 + 512) chia hết cho 101 (1)

Lại có: A = (13 + 993) + (23 + 983) + ... + (503 + 1003)

Mỗi số hạng trong ngoặc đều chia hết cho 50 nên A chia hết cho 50 (2)

Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 101 và 50 nên A chi hết cho B

0,25

0,25

0,25

Bài 2 (1,5 đ) 1.

2013 4 8052 3; : 2013

3 2013 3 2014( )

    

    

x x ÐKx

x x TMÐK

0,5

1,0

(2,5 đ)

2. Cho abc = 1. 1 ab c  

S =

1 1 1 1 1 1 a ab b bc c ac       

= 1 1 1 1 1 1 abc b bc c ac a c

      

=   1 1 1 1 1 c c ac b ac c c ac      

=   1 1 bc b b c ac  

=     1 1 1 b c ac b c ac     

0.5

0,5

0,5

0,5

0,5

1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

x2 + 2y2 + 2xy + 3y – 4 = 0 (1)

(1) (x2 + 2xy + y2) + (y2 + 3y – 4) = 0  0,25

(x + y)2 + (y - 1)(y + 4) = 0  0,25

(y - 1)(y + 4) = - (x + y)2 (2)  0,25

Vì - (x + y)2 0 với mọi x, y nên: (y - 1)(y + 4) 0 - 4 y 1      0,25

Vì y nguyên nên y   4; 3; 2; 1; 0; 1     0,25

Bài 3

(1,5đ)

Thay các giá trị nguyên của y vào (2) ta tìm được các cặp nghiệm nguyên (x; y) của PT đã cho là: (4; -4), (1; -3), (5; -3), ( -2; 0), (-1; 1). 0,25 (1,5 đ) 2. - Vì a.b = 1 nên

0,25

0,25

ThuVienDeThi.com