Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Sơn Động năm học 2011 - 2012 môn thi Toán

1

Phòng GD & ĐT sơn động

Đề thi chọn học sinh giỏi cấp HUYệN Năm học 2011 - 2012

Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút

Bài I ( 5,5 điểm ):

1) Cho biểu thức: 3 4 . 1

1

1

2 x

x x x

x P  

  



  

 

a. Rút gọn P. c. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của P

2) Tính giá trị biểu thức K = 2x3 + 2x2 +1 tại x = 3 3 1 23 513 23 513 1 3 4 4

            3) Giải phương trình: 2 2 3 5 2 3 12 14 x x x x       Bài II( 2,5 điểm ):

1) Chứng minh rằng với thì không chia hết cho 9. N n   1 2  n n

2) Cho x, y, z thỏa mãn Tính Q = x2 + y2. 

 

  

   

0 2

0 3 4 2

2 2 2

2 3

y y x x

y y x

Bài III ( 3 điểm ):

1) Tìm x, y nguyên thỏa mãn 23x + 7y =17

2) Cho a, b, x, y là các số thực thoả mãn: và . 1 2 2  y x b a b y a x

   1 4 4

Chứng minh rằng: 1003 1003

2006

1003

2006

) (

2

b a b y a x

  

Bài IV ( 4 điểm ):

1) Cho hệ phương trình    

1 2

1 1

x m y

m x y m

        

a) Giải hệ phương trình khi m = 1

2 b) Xác định giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x,y) thỏa mãn x > y. 2) Cho x , y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện x + y + z = 2

CMR:

2 2 2

1 x y z y z z x x y       Bài V ( 5 điểm ): 1) Cho (O, R) và điểm K nằm bên trong đường tròn. Hãy tìm dây cung ngắn nhất của (O) đi qua K. 2) Cho đường tròn tâm O, đường kính BC và một điểm A trên nửa đường tròn( A khác B và C). Hạ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC). Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A dùng hai nửa đường tròn đường kính HB và HC, chúng lần lượt cắt AB và AC tại E và F. a. Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC. b. Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn đường kính HB và HC. c. Gọi I và K lần lượt là hai điểm đối xứng với H qua AB và AC. Chứng minh rằng ba điểm I, A, K thẳng hàng. d. Đường thẳng IK cắt tiếp tuyến kẻ từ B của nửa đường tròn (O) tại M. Chứng minh rằng MC, AH, EF đồng quy.

ThuVienDeThi.com

2

Đáp án Môn Toán 9 Câu Nội dung Điểm I/1 1) Cho biểu thức: 3 4 . 1

1

1

2 x

x x x

x P  

  



  

 

a. Rút gọn P. c. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của P

2,5

* ĐKXĐ: 0  x

0,75

a

HS rút gọn ra kq

)1 ( 3

4

  

x x

x P

0,75 KL:

2) Tính giá trị biểu thức K = 2x3 + 2x2 +1 tại

x = 3 3 1 23 513 23 513 1 3 4 4

           

1,5 I/2

x = 3 3 1 23 513 23 513 1 3 4 4

           

3 1 x  3 3 23 513 23 513 4 4   

3

3 3 3 23 513 23 513 (3 1) 4 4 x

             

27x3 + 27x2+9x+1= +3(3x+1)  23

2

27x3 + 27x2=  27

2 2x3+2x2+1=2 

0,75

0,75

I/3 3) Giải phương trình: 2 2 3 5 2 3 12 14 x x x x       1,5

ĐK: 1,5 2,5 x   + Sử dụng bất đẳng thức cô si hoặc Bu nhi a đánh giá VT 2  + Đánh giá VP 2 

Do đó: PT 2 2 3 5 2 2 2 2

VT x x x VP x

                  KL.

0,75

0,75

ThuVienDeThi.com

3

II/1 1) Chứng minh rằng với thì không chia hết cho 9. N n   1 2  n n 1,5 Giả sử tồn tại số tự nhiên để n 9 )1 ( 2   n n Đặt . Vì (1) 1 2    n n A 9 4 9   A A  Ta có: 3 )1 2 ( )1 ( 4 4 2 2       n n n A Vì 9 )1 2 ( 3 1 2 3 )1 2 ( 3 4 9 2 2             n n n A A

không chia hết cho 9 không chia hết cho 9 (2) 3 )1 2 ( 4 2    n A A 4  Ta thấy (1) và (2) mâu thuẫn. Vậy điều giả sử là sai. Vậy ng với thì không chia hết cho 9. N n   1 2  n n

0,75

0,75

II/2

2) Cho x, y, z thỏa mãn Tính Q = x2 + y2. 

 

  

   

0 2

0 3 4 2

2 2 2

2 3

y y x x

y y x 1

III/1 1) Tìm x, y nguyên thỏa mãn 23x + 7y =17 1

+) 23 17 2 4 2( 2) 23x 7y 17 3 3 3 3 7 7 7 x x x y x x              

+) có x,y là số nguyên

 

3 3 2( 2) 2( 2) 7 3 3 7 2 2 7 2 7 (2;7) 1

x Z x Z x x Z

x x DoUCLN

                      Do đó: x+2 = 7t ( t là số nguyên) x = 7t-2  Khi đó: y = -23t+6 Thử lại ta được x = 7t-2 và y = -23t+6 là nghiệm nguyên của pt

0,25

0,25

0,5

III/2 Ta có: nên 1 ) ( 2 2 2  y x b a

y x b y a x

   

2 2 2 4 4 ) (

) 2 ( ) ( ) ( 4 2 2 4 4 4 y y x x ab y b a a …