Đề thi học sinh giỏi lớp 9 huyện Vĩnh Tường năm học 2013 2014 môn thi Toán

PHÒNG GD & ĐT VĨNH TƯỜNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9

NĂM HỌC 2013 – 2014

Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút

(Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 19 tháng 12 năm 2013

Câu 1. a) Tính: 5 2 2 9 4 2   

b) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện

. Tính giá trị của biểu thức: 4 a b c abc    

(4 )(4 ) (4 )(4 ) (4 )(4 ) A a b c b c a c a b abc          

Câu 2. Giải các phương trình sau:

a) 1 4 9 0 x x x x      

b) 2(x2 + 2) = 5 3 1 x 

Câu 3. Tìm tất cả các bộ số nguyên dương thỏa mãn   ; ; x y z 2013 2013 x y y z 



là số hữu tỉ, đồng thời là số nguyên tố. 2 2 2 x y z  

Câu 4. Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Tia AO cắt đường tròn (O) tại D.

a) Chứng minh các điểm B, C, E, F thuộc một đường tròn. b) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành. c) Gọi M là trung điểm của BC, tia AM cắt HO tại G. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC. Câu 5. a) Cho a, b, c là các số thực; x, y, z là các số thực dương.

Chứng minh :

2 2 2 2 ( ) a b c a b c x y z x y z        b) Cho x, y, z là các số thực lớn hơn -1.

Chứng minh :

2 2 2

2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 x y z y z z x x y             Câu 6. Cho bảng vuông 13x13. Người ta tô màu đỏ ở S ô vuông của bảng

sao cho không có 4 ô đỏ nào nằm ở 4 góc của một hình chữ nhật. Hỏi giá

trị lớn nhất của S có thể là bao nhiêu?

------------Hết------------ (Đề này gồm có 01 trang) Họ và tên thí sinh: ……………………………..……Số báo danh: ……….....

ĐỀ CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com

PHÒNG GD&ĐT VT HƯỚNG DẪN CHÁM ĐỀ THI HSG 9

NĂM HỌC 2013 - 2014

Câu Ý Nội Dung

2

2 2

5 2 2 (2 2 1) 5 2 3 2 2

5 2 ( 2 1) 3 2 2 ( 2 1) 2 1

5 2 2 9 4 2       

        

  

Câu 1

(4 )(4 ) (4 )(4 ) (4 )(4 ) A a b c b c a c a b abc          

4 4 4 4 4 16

(4 )(4 ) (16 4 4 )

        

      

a b c abc a b c abc

a b c a b c bc

2 (2 ) (2 ) 2       a a bc a a bc a abc

Tương tự (4 )(4 ) 2 , (4 )(4 ) 2         b c a b abc c a b c abc

2( ) 3 2( ) 8            A a b c abc abc a b c abc

a) ĐK: x 0. Pt (1)   9 4 1 x x x x     

5 1 9 4 1 x x x x       (2) 9 4 5( 1 ) x x x x       Từ (1),(2) suy ra: ,dấu “=” xảy ra 9 3 1 2 3 1 9 9 9 x x x x x x         khi x=0. Thử lại x=0 là nghiệm pt. Vậy pt đã cho có nghiệm x=0.

Câu 2

b) ĐK: x -1. 

Đặt a = , b = với a 0, b>0. 1 x  2 1 x x    Khi đó phương trình đã cho trở thành: 2(a2 + b2) = 5ab (2a-b)(a-2b)=0  2a=b hoặc a=2b 

Với a=2b =2  1 x  2 1 x x   4x2-5x+3 = 0, vô nghiệm. 

Với b=2a =2  2 1 x x   1 x 

x2-5x-3 = 0 (thỏa mãn đk x -1.)  5 37 2 x    

Câu 3

Ta có .     * 2013 , , , 1 2013 x y m m n m n n y z     

A

.  2013 nx my mz ny     2 0

0

nx my x y m xz y mz ny y z n

            

ThuVienDeThi.com

.        2 2 2 2 2 2 2 2 x y z x z xz y x z y x y z x z y              

Vì và là số nguyên tố nên 1 x y z    2 2 2 x y z  

2 2 2

1 x y z x y z x y z

          Từ đó suy ra (thỏa mãn). 1 x y z   

M

G

D

O F

E

H

C B

A

( cùng nhìn cạnh BC) · · BFC BEC = = 0 90 Suy ra B, C, E, F thuộc đường tròn đường kính BC.

Ta có DC AC ·ACD = 0 90   Mà HE AC; suy ra BH//DC (1)  Chứng minh tương tự: CH//BD (2) Từ (1) và (2) suy ra BHCD là hình bình hành

Câu 4

Ta có M trung điểm của BC suy ra M trung điểm của HD. Do đó AM, HO trung tuyến của G trọng tâm của AHD   AHD 

GM 1 AM 3  

Xét tam giác ABC có M trung điểm của BC, GM 1 AM 3 

Suy ra G là trong tâm của ABC 

Câu 5

a) (0,5điểm) Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

=

2 2 2 2 2 2

2 ( ).( ) ( . . . ) a b c a b c x y z x y z x y z x y z       

(a+b+c)2 2 ( ) a b c   

đpcm 

b) (1 điểm) Vế trái

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2(1 ) 2(1 ) 2(1 ) 2(1 ) (1 ) 2(1 ) (1 ) 2(1 ) (1 ) x y z M z y x z y x                

Đặt với a, b,c >0 2 2 2 1 ,1 ,1 . x a y b z c      

Khi đó M =

2 2 2 2 2 2 2 2 …