Đề thi học sinh giỏi lớp 9 Trường THCS Hà Yên Năm học 2010 2011 môn Toán

Phòng GD & ĐT Hà Trung Đề thi học sinh giỏi lớp 9 Trường THCS Hà Yên Năm học: 2010 – 2011 Môn: Toán. Thời gian: 120 phút. đề đề xuất

Bài 1 (3.0®) Biến đổi đơn giản các biẻu thức.

a. A = 81 34 2. 25 14 2. 16

1 3

b. B =

100 99

1

99 98

1 ... 3 2

1

2 1

1

        Bài 2: (4.0®) Rút gọn và tính giá trị của biểu thức.

a. C =

b a ab

b a a b



 1 :

Víi a = b = 2003

11 20 2003

11 18

b. Tìm các căp số (x,y) nguyên dương thỏa mãn x2 - y2 = 2003 Câu 3 : ( 5điểm ) giải phương trình

a) = 3 + 2 x x

x

 



1

3 6 2 x x 

b)

4

2 4 2 2 2 2 1 1 3 3 2 5 3 1 ( x ) ( x ) x x ( x ) ( x )         

Bài 4: (3.0 điểm)

Cho nửa đường tròn (O, R) đường kính AB. EF là dây cung di động trên nửa đường tròn sao cho E thuộc cung AF và EF = R. AF cắt BE tại H. AE cắt BF tại C. CH cắt AB tại I

a. Tính góc CIF. b. Chứng minh AE.AC + BF. BC không đổi khi EF di động trên nửa đường tròn.

c. Tìm vị trí của EF để tứ giác ABFE có diện tích lớn nhất. Tính diện tích đó.

Bài 5 ( 3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn và O là một điểm nằm trong tam giác. Các tia AO, BO, CO lần lượt cắt BC, AC, AB tại M, N, P. Chứng minh :

9 AM BN CP + + OM ON OP 

ThuVienDeThi.com

đáp án và thang điểm

Câu Đáp án Thang điểm 1 a. Kết quả k 45 196

b. 9

1.5 ® 1.5 ®

2 a. Rút gọn : a - b Tính được kết quả: 2 b. x2 - y2 = 2003 (x - y)(x + y)=2003 => x -y và x+ y là ước cùng dấu của 2003 Mà ¦(2003)   2003 ;1   vì x, y dương nên x+y> x-y Ta xét hai trường hợp

  



     

  

  

  

     

 

 

1001

1002 1 2003

1001 1002 2003 1

y x y x

y x

y x y x

y x

1.0® 1.0®

0.25® 0.25® 0.25®

0.5®

0.5® Vậy cặp số (x,y) nguyên dương thảo mãn x2 -y2 = 2003 là (x,y) = (1002,1002) 0.25®

3 a) ĐK 0 < x < 1 và x  2

1

Khử mẫu ở vế trái ta được phương trình:

3( ) = 3 + 2 x x  1 2 x x 

Đặt = t  đk : 0 < t < x x  1 2 Phương trình viết thành : t2 - 3 t + 2 = 0 Kết luận: x = 0 ; x = 1 là nghiệm của phương trình đã cho

b)

điều kiện:

1

3

x

x

   Đặt a =(x-1)2 ; b = x2 - 3

0,5®

0,5® 0,5® 0,5®

0,5®

0,5® 0,5®

ThuVienDeThi.com

4

Phươngtrình

4

2 4 2 2 2 2 1 1 3 3 2 5 3 1 ( x ) ( x ) x x ( x ) ( x )          trở thành:

2

4 2

2 2 4 2 2 4 2 2 2 2

1 2

1 1 1 1 2 1 1

a b a b b a a a b ( a b ) Tacó : b a b a b b a b a a b

   

             

Dấu = xãy ra khi khi đó x = 2

2 1 1 a b b

   

Vậy nghiệm của phương trình là x = 2

- BE, AF là hai đường cao của ABC  CI là đường cao thứ ba hay CIAB - Tứ giác IHFB nội tiếp  HIF = HBF hay CIF = EBF . - EOF đều nên EOF = 600.

-  EF = 600  CIF = EBF = 300.

- Chứng minh ACI đồng dạng với ABE

- được: AI AB AE AC AE

AI AB AC . .   

- Tương tự BCI đồng dạng với BAE được:

0,5®

0,5®

0,5®

1®

1®

A B

E

F

C

H

I

ThuVienDeThi.com

5

BI BA BF BC BF

BI BA BC . .   

- Cộng được: AE.AC + BF. BC = AB.AI + AB.BI =AB(AI + IB) = AB2 = const.

- Chứng minh ABC đồng dạng với FEC.

- 4 1 2

2 2

               R R AB EF S S

ABC

FEC

ABC ABFE S S 4 3  

- Để lớn nhất  lớn nhất  CI lớn nhất. C chạy ABFE S ABC S trên cung chứa góc 600 vẽ trên AB nên CI lớn nhất khi I  O  CAB cân  EF // AB.

- Lúc đó 4

3 . 3 3 . 2

3 . .2 2 2 R S R R R S ABFE ABC    

N

A

B C

O

K H M

P

Từ A và O kẻ AH BC  OK BC (H, K BC)   AH // OK 

Nên (1) OM OK AM AH 

(2)

1 . 2 1 . 2

BOC

ABC

OK BC S OK S AH AH BC  

(1) , (2)  BOC

ABC

S OM S AM 

Tương tự : AOC

ABC

S ON S BN 

1®

0,5đ

0,5đ

ThuVienDeThi.com