Đề thi chọn học sinh giỏi bậc THCS cấp huyện Buôn Đôn năm học 2009-2010 môn Toán

PHÒNG GIÁO DỤC&ĐÀO TẠO

HUYỆN BUÔN ĐÔN

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC THCS CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2009-2010

Môn: TOÁN Thời gian làm bài:150 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (3 điểm): Cho a, b, c > 0 thỏa a + b + c = 1

Chứng minh rằng:

64 1 1 1 1 1 1                    c b a

Câu 2 (3 điểm): Tìm tất cả các số thực x, y, z thỏa mãn phương trình:

x + y + z + 4 = 2 + 4 + 6 2  x 3  y 5  z

Câu 3 (4 điểm): Giải hệ phương trình sau:

  



  





 

 

 

2 1 1

5 1 1

2

z x

xyz

z y

xyz

y x

xyz

Câu 4 (2 điểm): Cho

1 1 2

1

1 1 2

1

2

    

 x

Tính giá trị của biểu thức: A = (x4 – x3 – x2 + 2x – 1)2003

Câu 5 (4 điểm): Cho hình thoi ABCD có góc A = 1200, tia Ax tạo với tia AB góc BAx bằng 150 và cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng DC tại N.

Chứng minh: 2 2 2 3

4 1 1

AB AN AM  

Câu 6 (4 điểm): Cho tam giác ABD vuông tại D, lấy C là điểm thuộc cạnh AB. Kẻ CH vuông góc với AD (H AD). Đường phân giác của góc BAD cắt đường tròn đường  kính AB tại E, cắt CH tại F; DF cắt đường tròn trên tại K.

a) Chứng minh rằng tứ giác AFCK nội tiếp. b) Chứng minh ba điểm K, C, E thẳng hàng. c) Cho BC = AD, kẻ CI song song với AD (I DK). Chứng minh CI = CB và DF là  đường trung tuyến của tam giác ADC.

Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

ĐỀ CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC THCS CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2009-2010

Môn: TOÁN

Câu 1 (3 điểm):

Ta có = = (0,5 điểm) a 1 1  a a 1 

a

c b a a   

Do a, b, c > 0, theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

= = a 1 1  a

c b a a     a

bc a 2 2 2   a

bc a . 2.2 2

a

bc a 4 2 4

Vậy: (0,5 điểm) a 1 1   a

bc a 4 2 4

Tương tự:

(0,5 điểm) b 1 1   b

ac b 4 2 4

(0,5 điểm) c 1 1   c

ab c 4 2 4

Từ đó, suy ra:

= 64 (đpcm) (1 điểm) abc

c b a c b a

4 4 4 4 . 64 1 1 1 1 1 1                   

Câu 2 (3 điểm): ĐK: x 2 ; y 3 ; z 5    Ta có: x + y + z + 4 = 2 + 4 + 6 2 x  3 y  5 z 

(x - 2 - 2 + 1) + (y - 3 - 2.2 + 4) + (z-5 - 2.3 + 9) = 0  2 x  3 y  5 z 

(0,5 điểm) ( -1)2 + ( - 2)2 + ( - 3)2 = 0 (0,5 điểm)  2 x  3 y  5 z 

(0,5 điểm) 

2 1 0

3 2 0

5 3 0

x

y

z

            

(0,5 điểm) 

2 1

3 2

5 3

x

y

z

          

(0,5 điểm) 

2 1 3 4 5 9

x

y z

        

ThuVienDeThi.com

(0,5 điểm) 

3

7

14

x

y

z

      

Câu 3 (4 điểm): Giải hệ phương trình:

  (1 điểm)

  



  





 

 

 

2 1 1

5 1 1

2

z x

xyz

z y

xyz

y x

xyz

  



  





 

 

 

3 2

6 5

2 1

xyz

z x

xyz

z y

xyz

y x

  



  





 

 

 

(3) 3 2 1 1

(2) 6 5 1 1

)1( 2 1 1 1

xy yz

xy xz

xz yz

(1) + (2) + (3): (0,5 điểm) (4) 1 1 1 1    yz xy xz

Lấy (4) – (1): (0,5 điểm) 2 1 1  xy

(4) – (2): (0,5 điểm) 6 1 1  yz

(4) – (3): (0,5 điểm) 3 1 1  xz Vậy xy = 2, yz = 6, xz = 3 Ta có: (xyz)2 = 36  xyz = 6 hay xyz = -6 Trường hợp 1: xyz = 6. Ta có: x = 1, y = 2, z = 3 (0,5 điểm) Trường hợp 2: xyz = -6. Ta có: x = -1, y = -2, z = -3 (0,5 điểm)

Câu 4 (2 điểm):

Ta có

1 1 2

1

1 1 2

1

2

    

 x

= (0,5 điểm)

1 1 2

1 1 2 1 1 2

2

 

    

= (0,5 điểm) 2

2

2 2 

Ta lại có: A = (x4 – x3 – x2 + 2x – 1)2003

= (0,5 điểm)     

2003 3 1 1    x x x Thay x = vào A, ta được: 2

A = = = 12003 = 1 (0,5 điểm)     

2003 1 2 2 2 1 2        

2003 1 2 1 2  

ThuVienDeThi.com