Bộ Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn thi Toán 9

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI - CẤP TỈNH NĂM HỌC 2009-2010

MÔN THI: TOÁN (Thời gian làm bài 150 phút)

Bài 1 (2,5 điểm) Giải các phương trình sau:

1. 3x2 + 4x + 10 = 2 2 14 7 x 

2. 2 4 2 2 4 4 4 16 4 1 2 3 5 x x x x y y y          

3. x4 - 2y4 – x2y2 – 4x2 -7y2 - 5 = 0; (với x ; y nguyên)

Bài 2: (2.5 điểm)

1. Tìm số tự nhiên để và là hai số chính phương. n 18 n  41 n 

2. Căn bậc hai của 64 có thể viết dưới dạng như sau: 64 6 4  

Hỏi có tồn tại hay không các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng dưới dạng như trên và

là một số nguyên? Hãy chỉ ra toàn bộ các số đó.

Bài 3: (3,25 điểm)

Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn (O) tại hai điểm A và B. Từ

một điểm M tùy ý trên đường thẳng d và ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MN và MP với đường tròn

(O), (P, N là hai tiếp điểm).

1. Chứng minh rằng 2 2 . MN MP MA MB  

2. Dựng vị trí điểm M trên đường thẳng d sao cho tứ giác MNOP là hình vuông.

3. Chứng minh rằng tâm của đường tròn đi qua 3 điểm M, N, P luôn chạy trên đường thẳng cố định khi

M di động trên đường thẳng d.

Bài 4: (1,5 điểm)

Trên mặt phẳng tọa độ xOy lấy điểm P(0; 1), vẽ đường tròn (K) có đường kính OP. Trên trục hoành

lấy ba điểm M(a; 0); N(b; 0), Q(c; 0). Nối PM; PN; PQ lần lượt cắt đường tròn (K) tại A; B ; C. Tính độ dài

các cạnh của tam giác ABC theo a; b; c. Bài 5: (0,75 điểm) Cho a, b, c > 0.

Chứng minh rằng:

3 3 3 3 3 3

2 2 2 19b - a 19c - b 19a - c + + 3(a + b + c) ab +5b cb +5c ac +5a 

Hết./

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI - CẤP TỈNH ThuVienDeThi.com

NĂM HỌC 2009-2010.

MÔN THI: toán (Thời gian làm bài 150 phút)

Câu Ý Nội dung Điể m 1.1 (0,75 đ)

Giải, xác định đúng điều kiện: 2 2 ; 2 2 x x   

= 0  2 2 2 4 4 2 1 2 2 1. 7 7 x x x x      

2 ( 2) ( 2 1 7) 0 x x     

(Thỏa mãn) 2

2 2 0

2 2 2 1 7 0 2

x x

x x x x

                      

0,25

0,25

0,25

1.2 (1.0đ)

Điều kiện :

2

2

2 2

4 0 (1)

16 0 (2)

4 1 0 (3)

2 3 0 (4)

x

x

x

x y y

              Từ (2) (x2 – 4)(x2 + 4) kết hợp với (1) và (3) suy ra x = 2  2 0 4 0 x     Thay vào (4): y2 – 2y + 1 ; Đúng với mọi giá trị của y. 0  Thay x = 2 vào phương trình và giải đúng, tìm được y = 1,5 Vậy nghiệm của phương trình: (x = 2; y = 1,5)

0.5đ

0,5

1 (2,5đ)

1.3 (0,75 đ)

Biến đổi đưa được pt về dạng: (x2 – 2y2 – 5)(x2 + y2 +1) = 0

x2 – 2y – 5 = 0 x2 = 2y2 + 5 x lẻ    Đặt x = 2k + 1 ; ( k ) 4k2 + 4k +1 = 2y2 + 5 2y2 = 4k2 + 4k – 4 Z    y2 = 2(k2 + k – 1) y chẵn   Đặt y = 2n; (n ) 4n2 = 2(k2 + k – 1) 2n2 + 1 = k(k + 1) (*) Z    Nhìn vào (*) ta có nhận xét: Vế trái nhận giá trị lẻ, vế phải nhận giá trị chẵn (Vì k và k + 1 là hai số nguyên liên tiếp) (*) vô nghiệm pt đã cho vô nghiệm  

0,25

0,25

0,25

2.1 (1,0đ)

Để và là hai số chính phương 18 n  41 n 

và 2 18 n p      2 41 , n q p q   N       2 2 18 41 59 59 p q n n p q p q           

Nhưng 59 là số nguyên tố, nên: 1 30 59 29 p q p p q q              Từ suy ra 2 2 18 30 900 n p     882 n  Thay vào , ta được . 41 n  2 2 882 41 841 29 q     Vậy với thì và là hai số chính phương 882 n  18 n  41 n 

0,5

0,5

Gọi số cần tìm là : (a, b là số nguyên và a khác 0) 10 ab a b  

Theo giả thiết: là số nguyên, nên và b là các số chính phương, 10a b a b    ab do đó: b chỉ có thể là 1 hoặc 4 hoặc 9 Ta có:   2 2 10 10 2 2 5 a b a b a b a a b b a b a           

(vì )   2 5 b a    0 a 

0,5

2 (2,0đ) 2.2 (1,0đ)

Do đó phải là số chẵn: , nên a 2 a k  5 b k   Nếu (thỏa điều kiện bài toán) 1 8 81 8 1 9 b a      

0, 5

ThuVienDeThi.com