Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 - Trường THCS Yên Trung

Trường THCS Yên trung đề thi học sinh giỏi cấp huyện

Môn: Toán Lớp 9 (Thời gian làm bài: 150 phút)

Đề bài

Câu1: (4.0 điểm)

Cho biểu thức

A =  

  



   

  





  



1 : 1

1 1

1

x

x x x

x x

x x

a) Tìm ĐKXĐ của A. Rút gọn A

b) Tìm giá trị của x để A = 3

Câu 2: (5.0 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ cho các đường thẳng (d): 3x – 2y + 3 = 0 và (d') : 3x + 2y – 9 = 0 cắt nhau tại C và lần lượt cắt trục Ox tại A, B. a) Tìm tọa độ của các điểm A, B, C. b) Tìm diện tích và chu vi của tam giác ABC biết đơn vị đo độ dài trên các trục là cm. Câu 3:(4.0 điểm). a) Cho biểu thức :

. 2 2 5 4 2014 M x x y xy y      

Với giá trị nào của x, y thì M đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó b) Giải hệ phương trình :

  

2 2 18

1 . 1 72

x y x y

x x y y

         

Câu 4 (5.5®): Cho tam giác ABC. Phân giác AD (D  BC) vẽ đường tròn tâm O qua A và D đồng thời tiếp xúc với BC tại D. Đường tròn này cắt AB và AC lần lượt tại E và F. Chứng minh

a) EF // BC b) Các tam giác AED và ADC; AFD và ABD là các tam giác đồng dạng. c) AE.AC = AF.AB = AD2 Câu 5 (1,5 điểm).Cho a, b là các số thực dương. Chứng minh rằng :

 

2 2 2 2 a b a b a b b a     

ThuVienDeThi.com

Đáp án và hướng dẫn chấm Câu1: (4điểm)

a)  ĐKXĐ: x > 0 và x  1 (0.5®)

 Ta có: A =  

  



   

  





  



1 : 1

1 1

1

x

x x x

x x

x x

= (0.5®)  

  



  

  

  





   

  

1 1

)1 ( : 1

1

)1 )( 1 (

)1 )( 1 (

x

x

x

x x

x

x

x x

x x x

= (0.5®)  

  





   

  





  

 

1 : 1

1

1

1

x

x x x

x

x

x

x x

= (0.5®) 1 : 1

1 1

 

   

x

x

x

x x x

= = (0.75®) 1 : 1

2

 

 

x

x

x

x

x x

x

x 1

1

2   

 

= (0.5®) x

x  2

b) A = 3 => = 3 => 3x + - 2 = 0 (0.25) x

x  2 x

=> x = 2/3 (0,5®)

Câu 2: (5,0 điểm)  C là giao điểm của d và d/ nên tọa độ của C thỏa mãn hệ :

  Vậy C(1 ; 3) (1.0®) 3x - 9 2y

3 3x 2y

  



 

12 4y

3 3x 2y

  



 

3 y

1 x

  

 

 Phương trình trục Ox là y = 0 nên tọa độ A thỏa mãn hệ :

 Vậy A(- 1; 0) (0.5®) 0 y

3 3x 2y

  



 

0 y

1 - x

  

 

tọa độ B thỏa mãn hệ :

 Vậy B(3 ; 0) (0.5®) 0 y

3x - 9 2y

  





0 y

3 x

  

 

 Gọi H là hình chiếu của C trên trục Ox thì CH là đường cao của tam giác CAB và CH = 3 cm ( tung độ của điểm C) ; cạnh đáy AB = AO + OB = 1 + 3 = 4 (cm) .

 dt(ABC) = AB.CH = .4.3 = 6 (cm2) 2 1

2 1

(1.5®)  HA = HO + OA = 1 + 1 = 2 (cm)  HB = AB - AH = 2 (cm)

y

x

O H

1

3

3 -1

C

B A

y =

9-3x

2

y =

3x+3

2

ThuVienDeThi.com

 HA = HB = 2(cm)  tam giác CAB cân tại C (CH vừa là đường cao vừa là trung tuyến) ; tam giác vuông HCA có :

(cm) 13 3 HC AH CA 2 2 2 2      2  chu vi ABC là : AB + BC + CA = (cm) (1.5®) 4 2 13  Câu 3: (4.0 điểm) Ta có :

 (0,25®)     2 2 4 4 2 1 2 2 2007 M x x y y xy x y           

(0,5®)        2 2 2 1 2 1 2007 M x y x y        

(0,25®)      

2

2 1 3 2 1 1 2007 2 4 M x y y              

Do và (0,25®)  

2 1 0 y      

2 1 2 1 0 2 x y          

,x y 

(0,25®). 2007 M  

(0,5®). min 2007 2; 1 M x y     

 Đặt : (0,25®).    

1

1

u x x

v y y

    

Ta có : u ; v là nghiệm của phương trình : (0.25®) 18 72 u v uv

     



(0,5®). 2

1 2 18 72 0 12; 6 X X X X      

; (0,25®).  12 6 u v

   

6 12 u v

   

; (0,25®).     

1 12

1 6

x x

y y

      

   

1 6

1 12

x x

y y

       Giải hai hệ trên ta được : Nghiệm của hệ là :

(3 ; 2) ; (-4 ; 2) ; (3 ; -3) ; (-4 ; -3) và các hoán vị. (0,5®).

Câu 4: (5.5 điểm) a) (0,5®) A A A 1 ( ) 2 EAD EFD sdED  

(0,5®) A A A 1 ( ) 2 FAD FDC sdFD  

mà (0,5®) A A A A EDA FAD EFD FDC     EF // BC (2 góc so le trong bằng nhau) (0,5®) b) AD là phân giác góc BAC nên A A DE DF 

sđ sđ( ) = sđ = sđ (0.5®) A 1 2 ACD  A A AED DF  1 2

AAE …