Đề thi học sinh giỏi Toán 9 (năm học 2009- 2010) Trường THCS Yên Thái

Trường THCS Yên Thái Đề thi học sinh giỏi toán 9 (năm học 2009- 2010)

Thời gian làm bài 150 phút Họ và tên người ra đề: Nguyễn Thị Thuý Hằng

Đề bài:

Câu1. ( 4 điểm) Cho biếu thức

M =

1 2 1 2

1 1 1

2

   

  

  



   

 

x

x

x x

x x

x x

x x

x x x x

a, Hãy tìm điều kiện của x để biểu thức M có nghĩa, sau đó rút gọn M. b, Với giá trị nào của x thì biểu thức M đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó của M?

Câu 2. ( 4 điểm) Tìm nghiệm nguyên của hệ



 

   

    

8

7 2 2 2

3 3

2 2

y x y x

x y xy x y

Câu 3. (4 điểm) Cho A (6,0); B (0,3) a, Viết phương trình đường thẳng AB. b, Một điểm M (x;y) di chuyển trên đoạn thẳng AB. Gọi C; D theo thứ tự là hình chiếu của M trên OA; OB. Gọi N là điểm chia đoạn thẳng CD theo tỷ số 1:2. Tính toạ độ (x’; y’) của N theo ( x; y) .

c, Lập một hệ thức giữa x’; y’ từ đó suy ra quĩ tích của N. Câu 4. (5 điểm ) Cho ( 0; R )đường thẳng d cắt ( O ) tại 2 điểm A; B. trên d lấy 1 điểm M và từ đó kẻ 2 tiếp tuyến MN; MP ( N; P là tiếp điểm)

a, C/M: PMO = PNO b, Tìm 2 điểm cố định mà đường tròn ( MNP ) luôn đi qua khi M di động trên d. c, xác định vị trí của M để MNP là đều.   Câu 5.( 3 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

  

2 2 2 16 16 2

10

2

10

1 4 1 2 1 y x y x x y y x Q      

  

  

Đáp án:

Câu 1. (4®)

a, Điều kiện để biểu thức có nghĩa là: và x#1. (0,5®) 4 1 ,0   x x

M =

1 2 1 2

1 . 1 1

2

   

  

  



   

 

x

x

x x

x x

x x

x x

x x x x

ThuVienDeThi.com

(0,5®)  

1 2 1 2

1 1 1

1 2

   

  

  



   

  

x

x

x x

x x

x x

x x

x x x

(1®)       

    1 2 1 2 1

1

1 2 1 1 2

1

1

1

     

     

  

 

x

x

x

x

x x

x x

x

x

x x

x x

x x

x x

(0,5®)  

1

1

 

 

x x

x x

b, Do x nên M . Đẳng thức xảy ra khi x = 0 (0,5®) 0  0  Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 0 khi x = 0 (1®) Câu 2. Viết lại hệ đã cho dưới dạng (x+2y+2) ( x-y) =-7 (1) x3+y3+x-y = 8 (2) (1,5®) Từ (1) do x, y nguyên ta có các trường hợp sau: a, x- y=-1 và x+2y+2 = 7 =>x=1 và y = 2 thoả mãn ( 2) (0,5®) b, x-y = 1 và x+ 2y +2 = -7 => x+2y = -9 => y không nguyên (o,5đ) c, x- y= -7 và x+ 2y +2 = 1 Giải hệ nàyđược nghiệm ( x, y) = ( -5,2) không thoả mãn phương trình (2) (0,5®) d, x-y = 7 và x+2y+2 = -1 => x+2y =-3 => y không nguyên (0,5®) Tóm lại hệ đã cho có duy hất một nghiệm nguyên (x, y) =(1, 2) (0,5®) Câu 3. (4®) a, Gọi phương trình đường thẳng AB có dạng y = ax + b ( a # 0) (0,5®) Đường thẳng đi qua điểm A ( 6; 0) nên ta có 6a+ b = 0 (1) và đi qua điểm B ( 0;3)

nên ta có b = 3. Thay b = 3 vào (1) => a = - (0,5®) 2 1

Vậy đường thẳng AB là y = - x +3 (0,5®) 2 1

b, Gọi H là hình chiếu của N trên OA, K là hình chiếu của N trên OB

Tam giác DOC có KN// OC nên => (1) x x OC KN DC DN OC KN

3 2 3 2 3 2 '      

(0,5®)

Tương tự NH // OD => (2) (0,5®) y y OD NH CD CN DO NH

3 1 3 1 3 1 '      

=>N có toạ độ ( x’ = x ; y’ = y) (0,5®) 3 2

3 1

c, Từ (1) => x= x’; y= 3y’ thế vào y= - x+ 3 => y’ = - x + 1 (0,5®) 2 3

2 1

4 1

Vậy quĩ tích điểm N là phần đường thẳng y= - x + 1 nằm trong góc phần tư thứ 4 1

nhất. (0,5®)

Câu 4. (5®)

ThuVienDeThi.com