Đề thi chọn học sinh giỏi năm 2015 môn Toán 9

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM 2015

Môn: TOÁN 9 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (2,0 điểm) Chứng minh rằng nếu là số nguyên tố bất kỳ, thì với mọi số tự nhiên ta luôn có: p n   p n n p  

Câu 2: (4,0 điểm)

a, Giải phương trình: 3 2 4 2 5 x x    

b, Giải hệ phương trình:

2

2 2

2

12 6

2 2

x y x y

x y y

           Câu 3: (3,0 điểm) Tìm GTNN, GTLN của biểu thức: 2 2 2 2 61 2 18 45 P x x x x      

Câu 4: (4,0 điểm) Cho các số thực dương . Chứng minh rằng: ;a ;b c

       

3 3 3 2 2 2 3 3 3 8 1 1 1 1 1 1 3 81

a bc b ca c ab a b c a b c b c a c a b a b c b c a c a b

                                              Câu 5: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn , trực tâm H. Đường tròn đường kính ( ) O  1 O AH cắt đường tròn tại K khác A. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC cắt tại F khác ( ) O  1 O H. a, Chứng minh rằng: KH, AF, BC đồng quy b, Gọi D là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. AD cắt đường tròn tại điểm thứ hai là E. ( ) O Trên các đường thẳng AB, AC thứ tự lấy hai điểm M, N sao cho M, N đối xứng với nhau qua D. Chứng minh rằng đi qua E và tiếp xúc với MN tại D luôn đi qua một điểm cố định khi  I D thay đổi. Câu 6: (1,0 điểm) Cho 4030 số nguyên dương nhỏ hơn 2015. 1008. Trong đó, các đôi ; ia ib   1;2015 i  ia

một khác nhau và các đôi một khác nhau . Chứng minh rằng trong 4030 số đã cho tồn tại ib bốn số thỏa mãn . ; xa ; y a ; m b nb x y m n a a b b    HẾT./.

ThuVienDeThi.com