20 bài toán bồi dưỡng HSG lớp 9

1

20 bài toán bồi dưỡng HSG lớp 9 (P1)

I.- Số học (số vô tỷ và phép khai căn)

Bài 1. Chứng minh là số vô tỉ. 7

HD giải

Giả sử là số hữu tỉ thì có thể đặt (tối giản).  (1). 7 m 7 n 

2

2 2 2 m 7 hay 7n m n  

Đẳng thức này chứng tỏ m 2 chia hết cho 7 mà 7 là số nguyên tố nên m 7.

Đặt m = 7k (k  Z), ta có m2 = 49k2 (2).

Từ (1) và (2) suy ra 7n2 = 49k2  n2 = 7k2 (3).

Từ (3) ta lại có n2 7 và vì 7 là số nguyên tố nên n 7. m và n cùng chia hết cho 7 nên

phân số không tối giản, trái giả thiết. m

n

Vậy không phải là số hữu tỉ;  do đó là số vô tỉ. (ĐPCM) 7 7

* Tổng quát: Căn bậc 2 của các số nguyên tố đều là số vô tỉ Bài 2:

So sánh các số thực sau (không dùng máy tính) :

a) b) 7 15 và 7  17 5 1 và 45  

c) d) 23 2 19 và 27 3  3 2 và 2 3

HD giải: Đưa về căn của các số chính phương > hơn hoặc < hơn rồi so sánh

. a) . Vậy < 7 7 15 9 16 3 4 7       7 15 

b) . 17 5 1 16 4 1 4 2 1 7 49 45        

c) . 23 2 19 23 2 16 23 2.4 5 25 27 3 3 3        

Bài 3 . Hãy viết một số hữu tỉ và một số vô tỉ lớn hơn nhưng nhỏ hơn 2 3

HD giải

Các số đó có thể là 1,42 và 2 3 2 

ThuVienDeThi.com

2

Bà 4 : . Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỉ với một số vô tỉ là một số vô tỉ.

HD giải : Chứng minh bằng phản chứng.

Giả sử tổng của số hữu tỉ a với số vô tỉ b là số hữu tỉ c. Ta có : b = c – a. Ta thấy, hiệu

của hai số hữu tỉ c và a là số hữu tỉ, nên b là số hữu tỉ, trái với giả thiết.

 Vậy c phải là số vô tỉ. Bà 5 :

Chứng minh rằng : Nếu số tự nhiên a không phải là số chính phương thì là số vô tỉ. a

HD giải: Chứng minh như bài 1. Bài 6 . Chứng minh rằng các số sau là số vô tỉ :

a) 1 2 

b) với m, n là các số hữu tỉ, n ≠ 0. 3 m n 

HD giải

a) Giả sử = m (m : số hữu tỉ)  = m2 – 1  là số hữu tỉ (vô lí) 1 2  2 2

b) Giả sử m + = a (a : số hữu tỉ)  = a – m  = n(a – m) 3 n

3 n 3

 là số hữu tỉ, vô lí. 3

Bà 7. Có hai số vô tỉ dương nào mà tổng là số hữu tỉ không ?

HD giải: Có, chẳng hạn 2 (5 2) 5   

Bà 8:. Xét xem các số a và b có thể là số vô tỉ không nếu :

a) ab và là số vô tỉ. a b

b) a + b và là số hữu tỉ (a + b ≠ 0) a b

c) a + b, a2 và b2 là số hữu tỉ (a + b ≠ 0)

Trả lời: a) Có thể. b & c) Không thể. Bài 9 . Tìm 20 chữ số thập phân đầu tiên của số : (20 chữ số 9) 0,9999....9

ThuVienDeThi.com

3

Giải:

Đặt 0,999…9 = a. Cần chứng minh 20 chữ số thập phân đầu tiên của là các chữ số 9. a

Muốn vậy chỉ cần chứng minh a < < 1. Thật vậy ta có : 0 < a < 1  a(a – 1) < 0 a

 a2 – a < 0  a2 < a. Từ a2 < a < 1 suy ra a < < 1. a

Vậy = 0, 9999…..9…….. .( 20 chữ số 9 đầu tiên sau dấu phẩy) 0,9999....9

20 chữ số 9

Bài 10:. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa :

2 G 3x 1 5x 3 x x 1      

HD giải: Đặt các biểu thức trong căn > 0; Giải ra tim x

Bài 11. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa :

2 2

2 1 1 A x x 2 B C 2 1 9x D 1 3x x 5x 6           

2 2 2 1 x E G x 2 H x 2x 3 3 1 x x 4 2x 1 x           

HD giải: Đặt các biểu thức trong căn > 0; Giải ra tim x

Bài 12. So sánh : a) b) 3 1 a 2 3 và b=

2

   5 13 4 3 và 3 1   

c) (n là số nguyên dương) n 2 n 1 và n+1 n    

HD giải

a) Xét a2 và b2. Từ đó suy ra a = b.

b) . Vậy hai số này bằng nhau. 5 13 4 3 5 (2 3 1) 4 2 3 3 1         

ThuVienDeThi.com