Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Hải Dương lớp 9 THCS năm học 2014 2015 môn thi Toán

SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2014 – 2015

MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 24/03/2015 ( Đề thi gồm có 01 trang ) Câu 1 (2,0 điểm):

a) Tính giá trị của biểu thức: A = 3 2 2 3 4 2 x x x   

với 5 5 5 5 2 2 3 5 1 2 2 x         

b) Cho x, y thỏa mãn: 2014 2015 2014 2014 2015 2014 x x x y y y            Chứng minh: x y  Câu 2 (2,0 điểm):

a) Giải phương trình    

3 3 1 1 2 2 1 2 x x x x x      

b) Giải hệ phương trình sau:    

2 3 4 2 2

1 1 4

x xy x y

x x y y

           Câu 3 (2,0 điểm):

a) Tìm số nguyên tố p sao cho các số đều là số nguyên tố. 2 2 2 2 1; 2 3; 3 4 p p p    b) Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn: . 2 2 2 2 2 3 18 2 3 18 27 x y z y z x      Câu 4 (3,0 điểm):

Cho đường tròn (O;R) đường kính BC. Gọi A là điểm thỏa mãn tam giác ABC nhọn. AB,

AC cắt đường tròn trên tại điểm thứ hai tương ứng là E và D. Trên cung không chứa D lấy ABC F(F B, C). AF cắt BC tại M, cắt đường tròn (O;R) tại N(N F) và cắt đường tròn ngoại tiếp   tam giác ADE tại P(P A).  a) Giả sử , tính DE theo R. A 0 60 BAC  b) Chứng minh AN.AF = AP.AM c) Gọi I, H thứ tự là hình chiếu vuông góc của F trên các đường thẳng BD, BC. Các

đường thẳng IH và CD cắt nhau ở K. Tìm vị trí của F trên cung để biểu thức ABC

đạt giá trị nhỏ nhất. BC BD CD FH FI FK  

Câu 5 (1,0 điểm):

Cho các số dương x, y, z thay đổi thỏa mãn: . Tìm giá trị lớn nhất của xy yz zx xyz   

biểu thức: . 1 1 1 4 3 4 3 3 4 M x y z x y z x y z         

------------- HẾT ------------

Họ và tên thí sinh: …………………………………Số báo danh ……………. Chữ kí giám thị 1 ……………………… Chữ kí giám thị 2 …………………..

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com

SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH MÔN TOÁNLỚP 9 THCS NĂM HỌC 2014 – 2015 Lưu ý: Thí sinh làm theo các khác đúng vẫn cho điểm tối đa. Điểm bài thi làm tròn đến 0,25 điểm CÂU PHẦN NỘI DUNG ĐIỂM

Đặt , a > 0 5 5 5 5 a = 2 + 2 - 2 2   

 

2 2 5 5 a 4 2 4 4 6 2 5 4 5 1 3 5 3 5 2

a              

0,25

6 2 5 6 2 5 3 5 3 5 1 1 2 2 x           5 1 5 1 1 2 1 2 2

     

0,25

2 x = 2 1 2 1 0 x x    0,25

a) 1,0điểm

B = 2x3 + 3x2 – 4x + 2 B = 2x(x2 + 2x -1 ) - ( x2 + 2x -1 ) + 1 = 1

0,25

(1) 2014 2015 2014 2014 2015 2014 x x x y y y            ĐKXĐ: 2014 ; 2014 x y   

(1) 2014 2014 2015 2015 2014 2014 0 x y x y y x             

Nếu x khác y và thì >0; 2014 ; 2014 x y    2014 2014 x y   

>0; >0 , do đó (1) 2015 2015 x y    2014 2014 x y   

0,25

(2)  

1 1 1 0 2014 2014 2015 2015 2014 2014 x y

x y x y x y

                      0,25

Khi đó dễ chứng tỏ

1 1 0 2014 2014 2015 2015 x y x y        

0,25

Câu1

2,0 điểm

b)

1,0điểm

Mà nên (2) vô lý vì VT(2) luôn khác 0 0 x y   Nếu x=y dễ thấy (1) đúng. Vậy x = y.

0,25

(1)    

3 3 1 1 2 2 1 2 x x x x x      

ĐKXĐ:x 1 

Đặt: Khi đó (1) có dạng : x3 + y3 + z3= (x + y +z)3 (2) 1; 2 y x z    Chứng minh được (2) (x+y)(x+z)(z+x) = 0 

0,25

Với: x + y = 0 ( Thỏa mãn) 1 0 1 x x x x        1 5 2 x   

0,25

Với: x + z = 0 ( không thỏa mãn). 2 0 2 x x      0,25

Câu 2

2,0 điểm

a) 1,0 điểm

Với: y + z = 0 - vô nghiệm 1 2 0 x   

Vậy phương trình có nghiệm: 1 5 2 x  

0,25

ThuVienDeThi.com