Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS huyện Thanh Thủy năm học 2014 - 2015 môn Toán

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH THỦY

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2014 - 2015

MÔN: TOÁN Thời gian: 150 phút không kể thời gian giao đề

Đề thi có: 01 trang

Câu 1 (3 điểm)

a) Tìm cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn đẳng thức: . 2 2 4( 1) 0      x y x y

b) Chứng minh rằng nếu và đều là các số nguyên tố thì cũng là a 2 8 a  2 2 a 

số nguyên tố.

Câu 2 (4 điểm)

a) Cho biểu thức: 1 1 1 1 1 x x x A

x x x x x

         Tính giá trị của A khi . 1 8 x  

b) Chứng minh rằng: 2 2 2 ( )( ) ( )( ) ( )( ) a b c b c a c a b a b c b a c a c b         

Câu 3 (4 điểm)

Giải các phương trình sau: a) 4 3 2 2 1 0 x x x x     b) x x x 2 )1 1 )( 1 1 (     

Câu 4 (7 điểm)

Cho hình thoi ABCD. Một đường thẳng (d) đi qua qua đỉnh A của hình thoi cắt đoạn thẳng BD và cắt các đường thẳng BC, DC theo thứ tự ở M, N, P.

a) Chứng minh ; 2 .  AM MN MP b) Chứng minh rằng khi đường thẳng (d) thay đổi vị trí nhưng vẫn đi qua A thì tích BN.DP có giá trị không đổi;

c) Xác định vị trí của đường thẳng (d) để tích AN.AP có giá trị nhỏ nhất.

Câu 5 (2 điểm)

Cho các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng: 2 2 2 x + y +z =1

3 3 3 1 2 2 2 3 x y z y z z x x y      

.......... Hết ..........

Họ và tên thí sinh:……………………………………..SBD:……………

Cán bộ coi thi không cần giải thích gì thêm./.

Đề chính thức

ThuVienDeThi.com

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH THỦY

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

NĂM HỌC 2014 - 2015

MÔN: TOÁN Hướng dẫn chấm có: 05 trang

A. Một số chỳ ý khi chấm bài.

Đáp án dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách giải. Thí sinh giải cách khác mà đúng thì tổ chấm cho điểm từng phần ứng với thang điểm của hướng dẫn chấm.

B. Đáp án và thang điểm.

Câu 1 (3 điểm)

a) Tìm cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn đẳng thức: . 2 2 4( 1) 0      x y x y

b) Chứng minh rằng nếu và đều là các số nguyên tố thì cũng là số a 2 8 a  2 2 a 

nguyên tố.

a) Ta có     2 2 2 2 4( 1) 0 2 2 4 x y x y x y           0,5

Vì và nên hoặc ,x y Z 

2 2 4 0 2      

2

2 2 2 0

2 2

x

y

   

  

   

2 2

2 2 2

2 0

x

y

   

  

0,5

+) hoặc    

2

2 2 2 0 2

0 2 2

x x

y y

             

2

4 x

y

    

0,25

+) hoặc    

2 2

2 2 2 4

2 2 0

x x

y y

             

0

2 x

y

    

Vậy, các cặp số nguyên (x; y) cần tìm là: .      2;0 , 2; 4 , 4; 2 , 0; 2   

0,25

b) Xét phép chia số tự nhiên a cho 3, xảy ra 3 khả năng: . 3 ; 3 1 à 3 2 ( )       a k a k v a k k N + Nếu thì , mà nên 3 1( ) k k N a    2 8 3 1 8 3 9 3 a BS BS      2 8 3 a   2 8 a  không là số nguyên tố;

0,5

+ Nếu thì , mà nên 3 2( ) k k N a    2 8 3 4 8 3 12 3 a BS BS        2 8 3 a   không là số nguyên tố; 2 8 a  0,5

Suy ra . Mà a là số nguyên tố nên a = 3, khi đó: đều là 3k a  2 2 8 17, 2 11 a a     các số nguyên tố đpcm  0,5

ThuVienDeThi.com

Câu 2 (4 điểm)

a) Cho biểu thức: 1 1 1 1 1 x x x A

x x x x x

         Tính giá trị của A khi . 1 8 x  

c) Chứng minh rằng: 2 2 2 ( )( ) ( )( ) ( )( ) a b c b c a c a b a b c b a c a c b         

a) ĐKXĐ: (*) 1 x  0,25

  

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

                    

x x x x x x x x x x A

x x x x x x x x x x 0,5

với . 2 ( 1) 2 1 1       x x x x x x x 1  0,5

Vì nên hoặc 1 8 x   9 x  7 x  0,5 Ta thấy không thoả mãn (*) 7 x  Với x = 9. Ta có A = 2 9 9 2.3 9 15     0,25

b) Ta có: 2 2 2 ( )( ) ( )( ) ( )( ) a b c b c a c a b a b c b a c a c b         

2 2 2 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 (1)            a b c b c a c a b a b c b a c a c b 0,5

Đặt:

2

2

2

x z a a b c x

x y b c a y b

a c b z y z c

                        

0,5

Khi đó, ta có:

2 2 2 (1)

1 VT . . ( )( ). 2 2 2 2 2 2 4 x z x y y z y z x z x y y x x y x y z                         

2 2 2 2 2 1 . . . . ( ) 2 2 2 2 4 x z …