Đề đề xuất thi chọn học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện năm học 2011 2012 môn Toán - Trường Thcs TT Phù Mỹ

PHÒNG GD-ĐT PHÙ MỸ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN TRƯỜNG THCS TT PHÙ MỸ Năm học: 2011 – 2012 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1: ( 3 điểm ) Chöùng minh raèng vôùi moïi x, y nguyeân thì A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 laø soá chính phöông

Câu 2: ( 3 điểm ) Giải phương trình nghiệm nguyên: x3 - y3 - 2y2 - 3y -1 = 0

Câu 3: ( 2 điểm )

Giải phương trình. 1 2 6 11 2 4 6         x x x x

Câu 4: ( 2 điểm ) Cho 3 số dương x,y,z thoả mãn điều kiện: xy + yz + zx = 1

Tính: T =   

2

2 2

1

1 1

x

z y x 

    

2

2 2

1

1 1

y

x z y 

     

2

2 2

1

1 1

z

y x z 

  

Câu 5: ( 4 điểm ) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P = . ab bc ca c ab a bc b ca     

Câu 6: ( 3 điểm )

Cho tam giác nhọn ABC. Từ một điểm I nằm trong tam giác ta kẻ IM  BC, IN  AC , IK AB . Đặt AK =x ; BM = y ; CN = z . Tìm vị trí của I sao cho tổng x2 +y2 +z2 nhỏ nhất.

Câu 7: ( 3điểm ) Cho tứ giác ABCD, gọi I là giao điểm của hai đường chéo. Kí hiệu 1 2 ; ; AIB CID ABCD S S S S S S     

a. Chứng Minh: 1 2 S S S  

b. Khi tứ giác ABCD là hình thang thì hệ thức trên xảy ra như thế nào?

----------------------HẾT---------------------- Đề thi này có 01 trang. Giám thị không giải thích gì thêm.

ĐỀ ĐỀ XUẤT

ThuVienDeThi.com

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM

Câu Đáp án Biểu điểm Câu 1 (3điểm )

A =(x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4

= (x + y)(x + 4y) . (x + 2y)(x + 3y) + y4 A A A A = (x2 + 5xy + 4y2 )(x2 + 5xy + 6y2 )+ y4 = (x2 + 5xy + 5y2 - y2 )(x2 + 5xy + 5y2 – y2 ) + y4 = (x2 + 5xy + 5y2 )2 - y4 + y4 = (x2 + 5xy + 5y2 )2 Do x , y Z neân x2 + 5xy + 5y2 Z   A laø soá chính phöông 

0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ

Câu 2 (3điểm )

Phương trình đã cho tương đương với : x3 = y3 + 2y2 + 3y +1 (1) Nhận xét rằng: (2) 2 3 3 2 2 3 0 2 3 1 ( 1) y x y y y y y        

(3) 2 3 3 2 2 3 5 2 0 2 3 1 (5 2) ( 1) y x y y y y y          

Từ (2) và (3) suy ra: < x3 , Vì y Z 3 ( 1) y   3 ( 1) y 

3 3 3 2 3

3 3 3 2 3 2 3 1

( 1) 2 3 1 ( 1)

x y y y y y

x y y y y y

                  2

2 2 3 1 0 1 ( ) 1 0 0 0

y y y vi y y y y y

                   

Z

Với y = -1 x= -1. Với y = 0 x= 1 Vậy phương trình có 2 cặp nghiệm nguyên là (-1; -1) và (1; 0)

1đ 0.5đ

0.5đ

0.5đ

0.5đ

Câu 3 (2 điểm )

ĐKXĐ: x  -2.

1 2 6 11 2 4 6         x x x x

 1 ) 3 2 ( ) 2 2 (

2 2       x x | + | -3| = 1 | 2 2   x 2  x | + | 3 - | = 1 | 2 2   x 2  x áp dụng BĐT |A|+ |B| | A + B| ta có : | + | 3 - |  1 | 2 2   x 2  x Dấu "=" xảy ra khi : ( )( 3 - )  0  2   3 2 x  7 2 2   x 2  x 2  x Vậy tập nghiệm của phương trình là : S =   7 2 /  x x

1đ 0.25đ

0.5đ 0.25đ

Câu 4 (2 điểm )

Ta có 1+x2 = xy + yz + zx + x2 = y(x+z)+x(x+z) =(x+z)(x+y) Tương tự ta có: 1+y2 =(y+x)(y+z) 1+z2 =(z+x)(z+y)

T=         y x z x

y z x z z y x y x

 

            z y y x

z x y x y z x z y  

    

=         y z x z

z y x y z x y x z

 

    

=x(y+z)+y(x+z)+z(x+y) = 2(xy+yz+zx) =2 . Vậy T = 2

1đ

0.5đ

0.5đ

ThuVienDeThi.com