Tuyển tập Đề thi học sinh giỏi Toán 9

ĐỀ THI HSG LỚP 9 ( 2011 – 2012) – 120p

Bài 1: (2,0 đ) Cho 3 số , , nguyên. Chứng minh rằng nếu chia hết cho 4 thì : a b c c b a  

chia hết cho 4.    abc a c c b b a Q     

Bài 2: (4,0 đ) Cho biểu thức :

với ;    4 4 : 1

1 2 4 2

1

2

   

  





     

  x x x

x

x

x x

x x

x x P 0  x 1  x

a) Rút gọn P.

b) Tính giá trị của P tại 15 2 8 40 24 60 10       x

c) Tìm giá trị của để . x P P 

Bài 3: (3,0 đ) Cho hàm số: (d). Tìm sao cho: 1 2    a x y a

a) Đường thẳng (d) đi qua điểm . Tính khoảng cách từ gố tọa độ đến đường   2 ;1  M

thẳng (d).

b) Đường thẳng (d) cắt đường thẳng tại điểm có hoành độ là 3. 1 2    x y

Bài 4: (3,5 đ)

a) Giải phương trình: 72 1 8

9   



x

x

b) Cho , là 2 số dương. Chứng minh rằng: a b     16 2 2    

ab

b a b a

Bài 5: (7,0 đ)

Câu 1: Cho đường tròn tâm O, bán kính R không đổi, 2 đường kính AB và CD vuông

góc với nhau. Lấy điểm I thuộc đoạn OC ( I khác O và C ). Vẽ đường tròn tâm I bán kính

IA, đường tròn này cắt tia AD và tia AC lần lượt tại M và N ( khác điểm A).

a) Xác định vị trí của 2 đường tròn tâm O và tâm I.

b) Chứng minh 3 điểm I, M, N thẳng hàng.

c) Từ M kẻ MK song song với AC ( K thuộc CD). Chứng minh:

và DO DK DA DM . .  KN CM //

d) Chứng minh tổng có giá trị không phụ thuộc vào vị trí điểm I. AN AM 

Câu 2: Cho tan . Tính giá trị của biểu thức: 3 2      

 

2 3 3 2

5 5

cos . sin 2 cos . sin 3

cos sin

   A

ThuVienDeThi.com

ĐỀ THI HSG LỚP 9 ( 2012 – 2013) – 120p

Bài 1: (2,0 đ) Tìm số bị chia nhỏ nhất khi chia cho 3 dư 1, chia cho 4 dư 2, chia cho 5 dư

3, chia cho 6 dư 4 và chia hết cho 11.

Bài 2: (3,5 đ) Cho biểu thức :

với ;  

  



 

  

  

  





    

2

5

1

2 : 2

1

2 x x

x

x

x

x x

x x

x

x Q 0  x 4  x

a) Rút gọn . Q b) Chứng minh rằng 2  Q c) Tìm giá trị của thỏa mãn: x x x x x x Q x x 4 3 4 2 3       Bài 3: (5,0 đ)

a) Tìm , thỏa mãn: x y   0 7 7 4 2 2 1 2 2          y x y y xy x

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :    3 2 2 2     x x x

c) Cho . Chứng minh bất đẳng thức: 3    z y x 6 2 2 2       zx yz xy z y x

Bài 4: (2,5 đ) Trên mặt phẳng tọa độ cho điểm , , .  5;1 A   0;2  B   2;6 C a) Xác định dạng của ABC.  b) Viết phương trình trục đối xứng của ABC.  Bài 5: (7,0 đ)

Câu 1: Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng xy không giao nhau. Từ một điểm M

tùy ý trên đường thẳng xy kẻ tiếp tuyến MP và MQ với (O) ( với P, Q là các tiếp điểm).

Dây cung PQ cắt OM tại K.

a) Chứng minh 4 điểm M, P, O, Q cùng thuộc một đường tròn.

b) C/minh tích OK.OM không phụ thuộc vị trí của điểm M trên đường thẳng xy.

c) Chứng minh đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định khi M chạy trên xy.

d) Tìm vị trí của điểm M sao cho diện tích MPOQ nhỏ nhất. 

e) Đường thẳng MO cắt (O) tại E, F ( ). Kẻ cát tuyến MIJ với (O) ( I nằm MF ME 

giữa M và J), kẻ EA và FB vuông góc với MIJ (A, B nằm trên MIJ).

Chứng minh: BF AE EF AE AB BF . .2 2 2 2 2    

Câu 2: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH. Qua H dựng đường thẳng a cắt cạnh 

AB và đường thẳng AC lần lượt tại E và G. Vẽ đường thẳng b vuông góc với đường thẳng

a tại H, b cắt cạnh AC và đường thẳng AB lần lượt tại F và D.

a) Chứng minh EF vuông góc với DG.

b) Tìm điều kiện của hai đường thẳng a và b thỏa mãn đường thẳng a vuông góc với

đường thẳng b tại H để EF ngắn nhất.

ThuVienDeThi.com