Đề thi học sinh giỏi văn hóa khối 9 môn Toán

Phòng GD- ĐT Thạnh Hóa Trường THCS ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA KHỐI 9

MÔN: Toán Thời gian: 150 phút Câu 1: ( 4đ)

Cho biểu thức P = 1 1 2 1 2 : 1 1 1 x x x x x x x x x x x

                     a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn P. c) Tính giá trị của P với x = . 7 4 3  d) Tìm giá trị lớn nhất của a khi P > a. Câu 2( 5đ) Cho hình chữ nhật ABCD. Đường phân giác của góc B cắt đường chéo AC thành

hai đoạn và . Tính các kích thước hình chữ nhật .

2 7 4 5 7 5

Câu 3: ( 5đ)

Bài 1: ( 2đ) a) Giải phương trình sau: 2 2 2 4 5 4 8 4 9 3 5 x x x x x x           b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A =   

2 4 2 4 4 1 1 9 x x x x     

Bài 2: ( 3đ) Hai bến sông A và B cách nhau 40 km. Một ca nô xuôi dòng từ A đến B rồi quay ngay về A với vận tốc riêng không đổi hết tất cả 2 giờ 15 phút. Khi ca nô khởi hành từ A thì cùng lúc đó, một khúc gỗ cũng trôi tự do từ A theo dòng nước và gặp ca nô trên đường trở về tại một điểm cách A là 8km. Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước. Câu 4: ( 3đ ) Cho (0;R) và điểm M cố định không nằm trên đường tròn . Qua M vẽ một cát tuyến cắt đường tròn tại A và B . Chứng minh rằng tích MA.MB không phụ thuộc vào vị trí của cát tuyến Câu 5: ( 3đ )

a) Chứng minh rằng:  

2 2 2 1 1 1 1 1 1 a b a b a b a b       

b) Tìm các số nguyên x để là một số chính phương chẵn. 2 199 2 2 x x   

ThuVienDeThi.com

ĐÁP ÁN Câu 1:

a) ĐKXĐ: x > 0 , x 1 0,25đ 

b) P =  

     

     

2 1 1 2 1 1 1 : 1 1 1 1 1

x x x x x x x

                   

=  

  2 1 2 1 2 1 :

1 1 1

x x x x

x x x x x

               

=    2 1 1 : 2 1

1 1 1

x x x

x x x x x

                      

=     

2 1 1 : 2 1 1 1 1

x x x x x x x x x x x

                  

=  

   1 1 2 1

2 1 1

x x x x

x x x

    

 

= (1.5 đ) mỗi bước 0.25 đ 1 x x x  

c) P = mỗi bước 0,25đ (1 đ)     1 2 3 7 4 3 3 2 3 6 3 3 3 2 3 2 3 2 3

           

d) P = 0,25đ 1 1 x x

 

Mà 0,25đ 1 1 x x

  1 2 1 x x   

Nên P 1 2 1 x x   

dấu “ =” xảy ra 0,25đ 1 P   1 1 x x x    

Nhưng x = 1 không thoã mãn ĐKXĐ. Vậy P > 1 0,25đ Suy ra giá trị lớn nhất của a để P > a là a = 1. 0,25đ

B C

Câu 2:( 5đ)

A D

E

ThuVienDeThi.com

( 1 đ)

Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác ABC có :

(1đ)

2 7 5 7

4

5

2 2 2

2

(1)

AB = CB AB 3 suy ra (2) CB 4 9 16 9 16

EC EA AB CB

EA AB EC CB

Hay

AB AB CB CB







   

(1đ)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau suy ra (1 đ) 2

2

25 5 16 4 AC AC CB BC    

Mà AC= AE+ EB = + = 10 (0,5 đ)

2 7 4 5 7 5

Vậy BC= , AB= (0,5đ) 10.4 8 5  3. 6 4 BC 

Kích thước hình chữ nhật là 6m,8m Câu 3: ( 5đ)

Bài 1: ( 2đ)

a)       2 2 2 2 1 2 4 2 5 3 5 x x x         

Vế trái  1 4 4   Vế trái 3 5   Dấu “ = ” xảy ra Mỗi ý 0,25đ  

2 2 0 2 x x      c) Ta có

    

2 2 4 2 2 4 4 1 1 9 2 1 9

9 3

A x x x x x x

A A

         

    Vậy Giá trị nhỏ nhất của A là 3. Mỗi ý 0,25đ Bài 2: ( 3đ) Gọi vận tốc riêng của ca nô là x km/h. Gọi vận tốc dòng nước là y km/h.( x > y > 0 ) Vận tốc ca nô khi xuôi dòng là x + y ( km/h) Vận tốc ca nô khi ngược dòng là x – y ( km/h) 0,25đ

ThuVienDeThi.com