Đề thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 2013 - 2014 môn Toán 9

Phòng giáo dục - đào tạo

Tiền hải

Đề thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 2013 - 2014

Môn: Toán 9 (Thời gian làm bài 120 phút)

Bài 1 (4 điểm)

a) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: . 2 2 x 3x 1 y  

b) Chứng minh rằng nếu mỗi số tự nhiên a và b đều là tổng của hai số chính phương thì ab cũng là tổng của hai số chính phương. Bài 2 (4 điểm)

1) Cho biểu thức:  

3 x y 1 1 1 2 1 1 A : . . x y xy xy x y 2 xy x y x y

                               

a) Rút gọn A

b) Tính giá trị của biểu thức A với và x 4 7   y 4 7  

2) Đa thức f(x) khi chia cho được số dư là 14 và khi chia cho được số dư là 2. x 5  x 1 

Tìm đa thức dư trong phép chia đa thức f(x) cho đa thức: . 2 x 4x 5  

Bài 3 (4,0 điểm)

Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + m2 – 4m + 7 = 0 (m là tham số) a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt. b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn |x1 – x2|= 12.

c) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 sao cho biểu thức: A = 2 2 1 2 1 2 x x 5x x  

có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Bài 4 (6,0 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Vẽ các đường cao AD, BE, CF. Vẽ đường kính AK của đường tròn tâm O.

a) Chứng minh: AB.AC = AD.AK và SABC = AB.BC.CA

4R b) Chứng minh: OA vuông góc với EF c) Vẽ đường tròn (I) đi qua B, C và tiếp xúc với AB tại B. Gọi M là giao điểm của cạnh AC với đường tròn (I), N là giao điểm của đường thẳng AD và đường thẳng BK. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, N, M thuộc một đường tròn. Bài 5 (2,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A. D là một điểm nằm trong tam giác sao cho CD = CA.

M là một điểm trên cạnh AB sao cho . N là giao điểm của MD và đường cao A A 1 BDM ACD 2 

AH của ABC. Chứng minh DM = DN. 

–––––––––––––––––––––––––––Hết–––––––––––––––––––––––––––

ThuVienDeThi.com

Phòng giáo dục - đào tạo

Tiền hải

kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 2013 - 2014

đáp án và biểu điểm chấm môn : Toán 9 (Đáp án và biểu điểm chấm gồm 05trang)

Bài 1 (4,0 điểm)

a) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: . 2 2 x 3x 1 y  

b) Chứng minh rằng nếu mỗi số tự nhiên a và b đều là tổng của hai số chính phương thì ab cũng là tổng của hai số chính phương.

Câu Nội dung Điểm Ta có: 2 2 2 2 x 3x 1 y 4x 12x 4 4y       0.5  

2 2 2x 3 5 4y     0.5    2x 2y 3 2x 2y 3 5       0.25 Lí luận, lập bảng tìm được các cặp (x, y) là : (0; -1); (0; 1); (3; -1), (3; 1) 0.5

a) (2điểm)

Vậy các cặp số (x, y) cần tìm là: (0; -1); (0; 1); (3; -1), (3; 1) 0.25 Vì a và b đều bằng tổng của hai số chính phương nên ta có thể viết: a = m2 + n2, b = c2 + d2 (m, n, c, d là các số nguyên) 0.25

Ta có: ab = (m2 + n2)(c2 + d2) = m2c2 + m2d2 + n2c2 + n2d2 0.5 = (m2c2+n2d2+2mcnd)+(n2c2+m2d2 – 2mcnd) 0.5

= (mc +nd)2 + (nc – md)2 0.5

b) (2điểm)

Vậy nếu mỗi số tự nhiên a và b đều là tổng của hai số chính phương thì ab cũng là tổng của hai số chính phương. 0.25

Bài 2(4 điểm):

1) Cho biểu thức:  

3 x y 1 1 1 2 1 1 A : . . x y xy xy x y 2 xy x y x y

                               

a. Rút gọn A

b. Tính giá trị của biểu thức A với và x 4 7   y 4 7  

2) Đa thức f(x) khi chia cho được số dư là 14 và khi chia cho được số dư là 2. x 5  x 1 

Tìm đa thức dư trong phép chia đa thức f(x) cho đa thức: . 2 x 4x 5  

Câu Nội dung Điểm ĐKXĐ: x > 0, y > 0 0,25

 

3 x y 1 1 1 2 1 1 A : . . x y xy xy x y 2 xy x y x y

                               

0,25 1.a (1,75điểm)

  

2 3 x y x y x y 1 2 : . . xy xy xy xy x y x y

                

0,25

ThuVienDeThi.com