Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh năm học 2011 - 2012 môn thi Toán lớp 9 THCS

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học: 2011-2012 Môn thi: TOÁN Lớp 9 THCS Ngày thi: 23 tháng 3 năm 2012 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề này có 01 trang, gồm 05 câu. Câu I (4,0 điểm)

Cho biểu thức 1 8 3 1 1 1 : 10 3 1 3 1 1 1 x x x P x x x x x

⎛ ⎞⎛ ⎞ − + −+ = + − ⎜ ⎟⎜ ⎟ − + − − −− − ⎝ ⎠⎝ ⎠ .

1) Rút gọn P.

2) Tính giá trị của P khi 4 4 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 x + − = − − + .

Câu II (4,0 điểm)

Trong cùng một hệ toạ độ, cho đường thẳng : 2 d y x = − và parabol 2 ( ) : P y x = − . Gọi A và B là giao điểm của d và ( ) P .

1) Tính độ dài AB . 2) Tìm m để đường thẳng ': d y x m = − + cắt ( ) P tại hai điểm C và D sao cho CD AB = .

Câu III (4,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình

2

2

2

1. 2

x x y

y y x

⎧ + = ⎪⎪⎨ ⎪ + = ⎪⎩

2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 6 2 3 2 2 320 x y x y + − = .

Câu IV (6,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có AB AC > . Gọi M là trung điểm của BC ; H là trực tâm; , , AD BE CF là các đường cao của tam giác ABC . Kí hiệu 1 ( ) C và 2 ( ) C lần lượt là đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF và DKE , với K là giao điểm của EF và BC . Chứng minh rằng: 1) ME là tiếp tuyến chung của 1 ( ) C và 2 ( ) C .

2) KH AM ⊥ . Câu V (2,0 điểm) Với 0 , , 1 x y z ≤ ≤ . Tìm tất cả các nghiệm của phương trình:

3 1 1 1 x y z y zx z xy x yz x y z + + = + + + + + + + + .

------------------------------------------------------ HẾT----------------------------------------------------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm.

Số báo danh

…...............……

ThuVienDeThi.com

- 1 -

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học: 2011-2012 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN (Đề chính thức) Lớp 9 THCS Ngày thi: 23 tháng 3 năm 2012 (Hướng dẫn gồm 03 trang) CÂU NỘI DUNG ĐIỂM I 1) 2,0 điểm Điều kiện xác định: 1 10 x < ≠ (*).

Đặt: 1 , 0 3 x a a −= < ≠ .

Khi đó:

2

2 2 9 3 1 1 : 3 9 3 a a a P a a a a a ⎛ ⎞ + + ⎛ ⎞ = + − ⎜ ⎟⎜ ⎟ + − − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1,0

2 3( 3) 2 4 : 9 ( 3) a a a a a + + = − − 3 2 4 a a − = +

3 1 2 1 4 x x − − =

− + . 1,0

2) 2,0 điểm

x ( ) ( )

2 2 4 4 3 2 2 3 2 2 = + − − 1,0

4,0 điểm

( ) ( )

4 4 4 4 2 1 2 1 = + − − ( ) 2 1 2 1 = + − − 2 = .

Suy ra: 3 2 4 P − = + 1 2 = − . 1,0

II 1) 2,0 điểm

Toạ độ A và B thoả mãn hệ:

2 2 2 x x y x

⎧− = − ⎨ = − ⎩

⇔( ; ) (1; 1) x y = − hoặc ( ; ) ( 2; 4) x y = − − . 1,0

9 9 3 2 AB = + = . 1,0 2) 2,0 điểm Xét phương trình (hoành độ giao điểm của ( ) P và ' d ): 2x x m − = − + ⇔ 2 0 x x m − + = (1). Tồn tại C và D, khi và chỉ khi: (1) có 2 nghiệm 1 2 , x x phân biệt

⇔ 1 4 m < (*).

Khi đó, toạ độ của C và D là: 1 1 ( ; ) C x y và 2 2 ( ; ) D x y , trong đó: 1 1 y x m = − + và 2 2 y x m = − + .

1,0

4,0 điểm

2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) 2( ) 2 ( ) 4 CD x x y y x x x x x x ⎡ ⎤ = − + − = − = + − ⎣ ⎦.

Áp dụng định lý Viét đối với (1), suy ra: 2 2(1 4 ) CD m = − . CD AB = ⇔ 2(1 4 ) 18 m − = ⇔ 2 m = −, thoả mãn (*). Vậy, giá trị cần tìm của m là: 2 m = −.

1,0

III 1) 2,0 điểm

ThuVienDeThi.com