Đề thi học sinh giỏi cấp huyện lớp 9 Năm học 2010-2011 Môn Toán - Trường THCS Đoàn Thượng

Trường THCS Đoàn Thượng ĐỀ 1 Đề thi học sinh giỏi cấp huyện lớp 9 Năm học 2010-2011 Môn : Toán Câu 1:(1,5 điểm) Cho a Z , chứng minh rằng a5- a chia hết cho 30. 

Câu 2 : (2 điểm) Cho P =   1 1 2 2 1

2

      



x x x

x x x x

x x

a. Rút gọn P b.Tìm giá trị lớn nhất của P.

c. Tìm x để biểu thức Q = nhận giá trị là số nguyên P

x 2

Câu 3:(2 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có các cạnh là a , b , c .Kẻ đường cao AD . Kẻ DE , DF tương ứng vuông góc với AB và AC .Đặt BE = m; CF = n ; AD = h. Chứng minh rằng :

a) b) 3h2 + m2 + n2 = a2

3 m c n b       Câu 4(3 điểm): Giải các phương trình : a. b. 7 2 1      x x x 38 12 5 7 2       x x x x

c.   1 9 1 6 1 1 4 4 1           x x x x Câu 5(2 điểm) Tìm các cặp số nguyên (x,y) thoả mãn một trong các đẳng thức sau : a. = 0 b. 7 2 3    y x xy xy y x y x x y       2 2 2 2 1 2 Câu 6:(1,5 điểm) Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác

Chứng minh rằng : 1 a b c a c b b c a c b a      

Câu 7 (1,5 điểm) Cho 3 đường thẳng (d1): y = với    5 1 2 2    m x m 1   m (d2): y = 1  x (d3): y = 3  x a. Chứng minh rằng khi m thay đổi thì d1 luôn đi qua một điểm cố định . b. Chứng minh rằng (d1) // (d3) thì (d1) (d2) c. Xác định m để 3 đường thẳng (d1), (d2), (d3) đồng quy. Câu 8(3 điểm) Cho hai đường tròn (O) (O,) tiếp xúc ngoài tại A . Gọi AB là đường kính của đường tròn (O), AC là đường kính của đường tròn (O,) , DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn D thuộc (O), E thuộc (O,), K là giao điểm của BD và CE a) Tứ giác ADKE là hình gì ? vì sao ? b) CMR: AK là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O,). c) Gọi M là trung điểm của BC CMR: MK DE Câu 9 (2 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

9 12 4 4 4 1 2 2      x x x x

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 4 2 4

2

 x x

x

Câu 11 (1,5 điểm) Cho đường tròn tâm I bán kính r nội tiếp tam giác ABC . CMR: IA+IB+IC 6r 

.............................................................** *.....................................................

ThuVienDeThi.com

Đáp án đề 1 Câu 1: (1,5 điểm) a5-a = a(a4-1) = a(a2-1)(a2+1) = a(a-1)(a+1)(a2-4+5) = a(a-1)(a+1) = a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2)+5a(a-1)(a+1) (0.5®)      5 2 2    a a Hạng tử thứ nhất chia hết cho 5 vì là tích của năm số nguyên liên tiếp . Hạng tử thứ hai cũng chia hết cho 5 do đó : a5-a 5 (0.25®)  Ta thấy: a5-a = a(a-1)(a+1)(a2+1) Do (a-1)a(a+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên nó chia hết cho 2 và 3 , tức là chia hết cho 6 vì (2,3) = 1 (0.5®) a5-a vừa chia hết cho 5 , vừa chia hết cho 6 mà (5,6) =1 nên a5-a 30 (0.25®)  Câu 2 (2 điểm) Câu a ,c mỗi câu 0,75 điểm, câu b 0,5 điểm a) Điều kiện để P có nghĩa là x > 0, x 1 (0,25®) 

P = (0,25®)        1

1 1 2 1 2 1

1 1



      

  

x

x x x

x x x x

x x x x

= (0,25®)   1 2 2 1 2 1         x x x x x x

b) P = x- +1= x 4 3 4 3 2 1

2

         x

P đạt GTNN là khi x= (0,5®) 4 3

4 1

c)Q = (0,25®) M x x x x

x P

x 2

1 1 2 1 2 2       

Với x > 0 và x 1 .áp dụng bất đẳng thức CôSi cho hai số dương 

M = (0,25®) 2 0 1 1 1       Q x x

Tìm được Q nguyên khi và chỉ khi Q = 1 (0,25®) 2

5 3 7   x

Câu 3 (2 điểm) Mỗi câu 1 điểm a)

3 2

2

6 3 2 2 2

2 2 2

3

.

.

. .

c c c BD a c BD c b b b DC a b DC b

c BD c m c c m c b DC b n b b n b

c m b n

          

                 

        b) a2 = (BD + DC)2 = BD2 + 2 BD.DC + DC2 = m.c +2h2 + n.b = m(EA + m) + n(AF + n) +2h2 = m2 + n2 +2h2 + m.EA +n.AF = m2 + n2 + 2h2 + ED2 + FD2 = m2 + n2 +2h2 + AF2 + FD2 = m2 + n2 + 2h2 + h2 = m2 + n2 + 3h2 (đpcm) Câu 4 (3 điểm) mỗi câu 1 điểm a) Đặt (1) Xét 4 trường hợp : 7 2 1      x x x

B

A

F

C D

E m

n h

ThuVienDeThi.com