Đề thi học sinh giỏi cấp huyện lớp 9 Môn toán - Trường thcs Yên Thịnh

1

Đề thi học sinh giỏi cấp huyện lớp 9

Môn toán - thời gian 150 phút

Năm học: 2009 - 2010

Bài 1: (3 ®). Tính giá trị của biểu thức:

a) A= 90 4 53 100 13   

b) B = Với a + b + c = 0 2 2 2

2

2 2 2

2

2 2 2

2

b a c

c a c b

b c b a

a

       

Bài 2: (4 ®). Cho biểu thức:

P = x

x

x

x

x x

x x



  

   



3

3

1

)3 ( 2

3 2

3

a) Rút gọn biểu thức P. b) Tính giá trị của P với x = 14 - 6 5 c) Tìm GTNN của P.

Bài 3 (4 ®). Giải các phương trình.

a) + 3 4

1

2   x x 5 1

63 16

1

35 12

1

15 8

1

2 2 2          x x x x x x b) 1 2 6 11 2 4 6         x x x x

Bài 4: (3 ®). Cho 2 số dương x, y thỏa mãn x + y =1

a) Tìm GTNN của biểu thức M = ( x2 + )( y2 + ) 2 1

y

2 1

x

b) Chứng minh rằng: N = ( x + )2 + ( y + )2  x 1

y 1

2 25

Bài 5 (2 ®). Cho hình chữ nhật ABCD, điểm M BC. Các đường tròn đường kính  AM, BC cắt nhau tại N ( khác B). BN cắt CD tại L. Chứng minh rằng: ML vuông góc với AC. Bài 6 (4 ®)

Cho (O;R) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ một điểm M di động trên đường thẳng d vuông góc với OA tại A, vẽ các tiếp tuyến MB, MC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm) dây BC cắt OM và OA lần lượt tại H và K.

a, Chứng minh rằng OA.OK không đổi, từ đó suy ra BC luôn đi qua một điểm cố định.

b, Chứng minh rằng H di động trên một đường tròn cố định. c, Cho biết OA = 2R. Hãy xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác MBOC nhỏ nhất.

Phòng giáo dục yên định Trường thcs yên thịnh

Người ra đề: Hoàng Duy Thế Người thẩm định: Đào Quang Đại.

ThuVienDeThi.com

2

Đáp án và biểu điểm Câu 1: (3®)

a) A= 90 4 53 100 13   

= (0,5®) 10 6.2 53 10 4 13   

= (0,25®) 2 2 ) 5 3 2 2 ( ) 5 2 2 (   

= 2 - - 2 - 3 = -4 (0,5®) 2 5 2 5 5

Vậy A= = -4 (0,25®) 90 4 53 100 13    5

b, Vì a + b + c = 0 a = - b - c a2 = b2 + 2bc + c2  

a2 - b2 - c2 = 2bc (0,5®) 

Tương tự có: b2 - c2 - a2 = 2ac

c2 - a2 - b2 = 2 ab (0,25®)

B = (0,5®) 2 3 2 3 2 2 2 2

3 3 3 2 2 2

       abc abc abc

c b a ab c ac b bc a

Vậy B = 3

2

Bài 2( 4 điểm). Điều kiện để giá trị của biểu thức P xác định : x0; x 9 (0,5 ®). a) Rút gọn:

P =

3

3

1

) 3 ( 2

) 3 )( 1 (

3



  

   



x

x

x

x

x x

x x

= (0,25 ®). )1 )( 3 (

)1 )( 3 ( ) 3 ( 2 3

2

 

     

x x

x x x x x

= (0,25 ®). )1 )( 3 (

3 3 18 12 2 3

 

       

x x

x x x x x x x

= = = (0,5 ®) )1 )( 3 (

24 8 3

 

  

x x

x x x x

)1 )( 3 (

) 8 ( 3 ) 8 (

 

  

x x

x x x

1

8





x

x

b) x = 14 - 6 = ( )2 - 2.3. + 9 = ( - 3)2  = 3 - (0,75 ®). 5 5 5 5 x 5

Khi đó P = = = (0,5 ®). 1 5 3

8 5 6 14

 

 

5 4

5 6 22





11

5 2 58 

Vậy với x = 14 - 6 thì P = (0,25 ®). 5 11

5 2 58 

c)

P= (1 ®). 4 2 9 2 2 1

9 1 1

9 1 1

9 1

1

8             

   



x x x x x

x

x

x

( áp dụng BĐT CôSi cho 2 số dương ) 1

9 ;1

 

x x

Dấu"=" xảy ra   x = 4 (thỏa mãn điều kiện) (0,25 ®). 1

9 1

  

x x

Vậy minP = 4, đạt được khi x = 4. (0,25 ®).

ThuVienDeThi.com

3

Bài 3: 4 điểm (mỗi câu 2 điểm). a) x2 + 4x + 3 = ( x + 1)( x+ 3) x2 + 8x + 15 = ( x +3)(x+5) x2 + 12x + 35 = ( x +5)( x + 7) x2 + 16x + 63 = ( x + 7)( x + 9)  ĐKXĐ: x  -1; x  -3; x  -5; x  -7; x  -9 (0,5 ®)

=>pt  5 1 ) 9 )( 7 (

1 ) 7 )( 5 (

1 ) 5 )( 3 (

1 ) 3 )( 1 (

1             x x x x x x x x

 (0,5 ®) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 3 3 5 5 7 7 9 5 x x x x x x x x                      

 5 1 ) 9 1 1 1 ( 2 1     x x  5( x + 9 - x -1) = 2( x+1)( x+9) (0,25 ®)  2x2 + 20x + 18 - 40 = 0  x2 + 10x - 11 = 0 Phương trình có dạng a + b + c = 0  x1 = 1; x2 = -11. (0,5 ®) x1; x2 thỏa mãn ĐKXĐ.

Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = (0,5 ®)   1; 11 

b) ĐKXĐ: x  -2. ( 0,5 ®)

Pt  (0,25 ®) 1 ) 3 2 ( ) 2 2 (

2 2       x x

 + = 1 (0,25 ®) 2 2 x   x+2-3

áp dụng BĐT |A|+ |B| | A + B| ta có : +  1 (0,5 ®) 2 2 x   x+2-3

Dấu "=" xảy ra khi : ( )( 3 - )  0 2 2   x 2  x  2   3  2 x  7 (0,5 ®) 2  x Vậy tập nghiệm của …