Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9 - Trường thcs Yên Bái

đề thi học sinh giỏi lớp 9

Giáo viên: Trần thị Yên Đơn vị: Trường THCS Yên Bái

Câu 1.(4®) Cho A= 2 5 1 3 6 2 x x x x x        a) Rút gọn A b) Tìm x để A có giá trị nguyên

câu 2 1)(4®) Cho hệ phương trình ( 1) 2 ( 1) 1 x m y m x y m          

a) Giải hệ khi m= (1 điểm). 1 2 b) Xác định giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) thoả mãn điều kiện x > y. (1 điểm). 2) (2®) Giải phương trình sau: : ( x2 + 1)( y2 + 4)( z2 + 16) = 64xyz

Câu3: (3®) . Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y2 = - 2(x6- x3y - 32) Câu 4: (2 điểm)

Cho hình chữ nhật ABCD,AB= 2BC.Trên cạnh BC lấy điểm E, tia AE

cắt đường thẳng CD ở F.Chứng minh rằng : 2 2 2 1 1 1 . 4 AB AE AF  

Câu 6. (5®) Cho nửa đường tròn(O) đường kính AB và một điểm M trên nửa đường tròn đó (M A; B). N là điểm đối xứng với O qua AM.  a) Chứng minh tứ giác OANM là hình thoi b) Gọi P; Q; Rlà trọng tâm của các tam giác MAB; MAN; NAO. Tứ giác OPQR là hình gì? c) Chứng minh rằng khi M di động trên nửa đường tròn thì PQ luôn đi qua một điểm cố định

ThuVienDeThi.com

Đáp án:

Câu 1. a) đk A= (2®) 0; 4 x x          

2 2 5 3 4 2 3 2

x x x x x x x

     

  

b) A= nguyên khi 2 ( -2) x = 0; 1; 9; 16 (2®) 4 2 1 2 2 x x x    

 x 

câu 2: 1) a) Khi m= ,hệ (I) trở thành (0,5®) 1 2

1 2 2 3 3 2 2

x y

x y

      

2 4 3 2 3 x y x y       

(0,5đ) 4 2 8

3 2 3

x y

x y

      

5 3.5 2 3 x

y      

5

6

x

y

     Vậy hệ (I) có nghiệm duy nhất (x;y)=(5;6) (0,5đ)

b)Giải hệ (I) tìm được (1đ)

2 2

2 2 1 1 ; ( 0) m m x y m m m     

(1đ)

2

2 0 0 m m x y x y m

      

(0,5đ) 1

0 m m

    

2) (2®) Ta có x2 +1 2x , y2 + 4 4y, z2 + 16 8z (1®)   

=>( x2 + 1)( y2 + 4)( z2 + 16) 64xyz 

Nên ( x2 + 1)( y2 + 4)( z2 + 16) = 64xyz khi

(1®) 







    

 



 

 

 

4

2 1

8 16

4 4

2 1

2

2

2

z

y x

z z

y y

x x

Câu3) (3®): Ta có: : y2 = - 2(x6- x3y - 32) <=> x6+(y-x3)2 = 64 (0,75®) => x6 ≤ 64 => -2≤ x ≤2 do x Z => x {-1; -2; 1; 0; 1; 2} (0,75®)   Xét các trường hợp (1,25®) + x = 2 => (y - x3)2= 0 => y = 8 + x = 1 => (y - x3)2= 63 => y Z => pt này không có nghiệm nguyên  + x = 0 => (y - x3)2= 4 => y = 8 và y = - 8 + x = - 1 => (y - x3)2= 63 => y Z => pt này không có nghiệm nguyên  + x = -2 => (y - x3)2= 0 =>y = - 8

ThuVienDeThi.com

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là: (0;8); (0;-8); (2;8); (-2;-8). (0,25®)

Câu 4(3®)

Kẻ AK AF (0,5đ)  ( ) K CD  (g.g) (0,75đ) ABE  ADK 

Suy ra (0,25đ) 2 AE AB AK AD  

Hay (0,5đ) 1 2 AK AE 

Áp dụng hệ thức lượng đối với tam giác vuông AKF,ta có :

(0,5đ) 2 2 2 1 1 1 AD AK AF  

Suy ra 2 2 2 1 1 1

1 1 2 2

AF AB AE

             

Hay (0,5đ) 2 2 2 1 1 1 4 AB AE AF  

Câu 5(4®)

a) ON AM tại H và HN=HO (0,5®) 

(O đối xứng với N qua AM)

HA = HM (đk vuông góc với dây)(0,5đ)

Vậy OANM là hình thoi (2 đường chéo

Vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường) (0,5®)

b) OPQR là hình bình hành vì QR//= AN ; OP = OM QR// = OP (1®) 1 3

1 3 

I

R

Q

P

. O A B

M N

H

F

E

K D C

B A

ThuVienDeThi.com