Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi (vòng 2) năm học 2013-2014 môn thi Toán - lớp 9

PHÒNG GD - ĐT TĨNH GIA

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN

HỌC SINH GIỎI (VÒNG 2)

Năm học 2013-2014

Môn thi: Toán - Lớp 9 Thời gian làm bài: 150 phút

Ngày thi: 25/02/2014

Bài 1: (4 điểm)

a) Cho a+b+c =0. Tính giá trị biểu thức sau :

P =      

               

a c

b c b

a b a

c b

a c a

c b c

b a .

b) Thu gọn tổng sau N = 13 +23+ ...+n3 với n>1 và n N

Bài 2: (4 điểm)

a) Cho 3 số nguyên x,y,z thoả mãn: x2 + y2 =z2. Chứng minh xyz 60 

b) Tìm 3 số tự nhiên khác nhau sao cho tổng các nghịch đảo của chúng là số nguyên.

Bài 3: (4 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình sau:

a) 0 2 1 3 )1 (

2

3

3 3       x

x x

x x

b)

2 3 4 4

2 3 4 4

x y

y x

     

     Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính BC = 2R. Lấy điểm M đối xứng với điểm A qua điểm B. Gọi điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên BC và điểm I là trung điểm của HC.

a) Chứng minh rằng MH AI.  b) Đường thẳng MH cắt đường tròn (O) tại E và F (điểm E nằm giữa điểm M và điểm F); đường thẳng AI cắt đường tròn (O) tại G (điểm G khác điểm A). Chứng minh rằng tổng bình phương độ dài các cạnh của tứ giác AEGF không đổi. Bài 5: (2 điểm) Cho tam giác vuông có số đo ba cạnh là các số nguyên, trong đó số đo của hai cạnh là hai số nguyên tố và hiệu của chúng bằng 50. Tính số đo nhỏ nhất của cạnh thứ ba có thể đạt được. Bài 6: (2 điểm) Cho x,y,z là các số nguyên thoả mãn x+y+z =1

Tìm giá trị bé nhất của biểu thức : M = 2 2 2 2 2 2 x xy y y yz z z zx x        

(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

Họ và tên thí sinh: ................................................................ Số báo danh: ....................

ThuVienDeThi.com

ĐÁP ÁN MÔN TOÁN (VÒNG 2)

( Gồm 4 trang ) Câu Nội dung Điểm

a) (2đ) Đặt ; ; b c c a a b x y z a b c      

Khi đó P = (1)   1 1 1 . 3 y z z x x y x y z x y z x y z                 

Ta có

2 2 . . y z a c a a b a c ac ab b x b c b c b c bc                 

= (vì c+b= -a)

2 ( ).( ) 2 . a c b c b a a b c bc bc     

Tương tự và

2 2 z x b y ac  

2 2 x y c z ab  

Suy ra = y z z x x y x y z     

3 3 3 2 2 2 3 3 3 2. ( ) 2.( ) 2.

b c b c a b c a b c bc ca ab abc abc

                   

= (vì c+b= -a) (2) 6 ( ) 6 bc b c abc   

Từ (1) và (2) suy ra P = 9

1.0

1.0 1 (4đ) b) (2đ) Ta có n3–n = n( n2-1) = n(n-1).(n+1) suy ra : n3 = n(n-1).(n+1) +n

Vậy N = 13 +23+ ..+n3 = (0.1.2 +1)+ (1.2.3+2)+ ...+ {n(n-1).(n+1) +n}

= {1.2.3+2.3.4+ ...+ n(n-1).(n+1)}+ { 1+2+...+n}

Đặt A= 1.2.3+2.3.4+ ...+ n(n-1).(n+1) và B = 1+2+...+n

Ta có 4.A = 4.{1.2.3+2.3.4+ ...+ n(n-1).(n+1)}

= 1.2.3.4+2.3.4.4+... +n(n-1).(n+1).4

= 1.2.3.(4-0)+ 2.3.4.(5-1)+ ...+ n(n-1).(n+1).{(n+2)-(n-2)}

= 1.2.3.4- 0.1.2.3 + 2.3.4.5 – 1.2.3.4 + ...

....+ n(n-1).(n+1). (n+2)- (n-2). n(n-1).(n+1)

= n(n-1).(n+1). (n+2)- 0.1.2.3

Vậy A = và B = ( 1). ( 1).( 2) 4 n n n n    ( 1) 2 n n 

Từ đó suy ra N = 13 +23+ ..+n3 = (A+B) =

2 ( 1) 2 n n       

1.0

1.0

2 (4đ)

a) (2đ) * Chứng minh xyz chia hết cho 5 +) Nếu xy chia hết cho 5 thì xyz chia hết cho 5

ThuVienDeThi.com