Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Phan Bội Châu môn Toán - Năm học 2009-2010 - Sở GD & ĐT Nghệ An (Có đáp án)

Sở GD&ĐT Nghệ An Kì thi TUYểN sinh VàO lớp 10 trường thpt chuyên phan bội châu

năm học 2009 - 2010

Môn thi: toán Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Bài 1: (3.5 điểm)

a. Giải phương trình

3 3 2 7 3 x x    

b. Giải hệ phương trình

3

3

8 2 3

6 2

x y

x y

      

Bài 2: (1.0 điểm)

Tìm số thực a để phương trình sau có nghiệm nguyên

2 2 0 x ax a     .

Bài 3: (2.0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác trong BE (E thuộc AC). Đường tròn đường kính AB cắt BE, BC lần lượt tại M, N (khác B). Đường thẳng AM cắt BC tại K. Chứng minh: AE.AN = AM.AK.

Bài 4: (1.5 điểm)

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, trung tuyến AO có độ dài bằng độ dài cạnh BC. Đường tròn đường kính BC cắt các cạnh AB, AC thứ tự tại M, N (M khác B, N khác C). Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng AO lần lượt tại I và K. Chứng minh tứ giác BOIM nội tiếp được một đường tròn và tứ giác BICK là hình bình hành.

Bài 5: (2.0 điểm)

a. Bên trong đường tròn tâm O bán kính 1 cho tam giác ABC có diện tích lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng điểm O nằm trong hoặc nằm trên cạnh của tam giác ABC.

b. Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: 3 a b c   . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2

2 2 2 P ab bc ca a b c a b b c c a        

------- Hết -------

Họ và tên thí sinh…………………………………..……….. SBD……………..

* Thí sinh không được sử dụng tài liệu. * Giám thị không giải thích gì thêm.

Đề thi chính thức

ThuVienDeThi.com

Sở GD&ĐT Nghệ An Kì thi TUYểN sinh VàO lớp 10 trường thpt chuyên phan bội châu năm học 2009 - 2010

Môn thi: Toán

Hướng dẫn chấm thi Bản hướng dẫn chấm gồm 03 trang

Nội dung đáp án Điểm Bài 1 3,5 ® a 2,0® 3 3 2 7 3 x x    

  3 3 3 3 2 7 3 2. 7 2 7 27 x x x x x x            0.50®

3 9 9. ( 2)(7 ) 27 x x      0.25®

3 ( 2)(7 ) 2 x x     0.25® ( 2)(7 ) 8 x x     0.25®

2 5 6 0 x x     0.25® 1 6 x x

   

( thỏa mãn ) 0.50®

b 1,50®

Đặt 2 z y  0.25®

Hệ đã cho trở thành

3

3 2 3

2 3

x z

z x

    

0.25®

 

3 3 3 x z z x     0,25®    2 2 3 0 x z x xz z       0,25®

x z   (vì 2 2 3 0, , x xz z x z      ). 0,25®

Từ đó ta có phương trình: 3 1 3 2 0 2 x x x x

       Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm:   ( , ) ( 1; 2), 2,1 x y 

0,25®

Bài 2: 1,0 ® Điều kiện để phương trình có nghiệm: 2 0 4 8 0 a a      (*). 0,25® Gọi x1, x2 là 2 nghiệm nguyên của phương trình đã cho ( giả sử x1 ≥ x2).

Theo định lý Viet:

1 2

1 2 1 2 1 2

. 2 . 2

x x a x x x x x x a

          

0,25®

1 2 ( 1)( 1) 3 x x    

1

2

1 3

1 1

x

x

    

hoặc

1

2

1 1

1 3

x

x

    

(do x1 - 1 ≥ x2 -1)

0,25®

Đề thi chính thức

ThuVienDeThi.com

1

2

4

2

x

x

    

hoặc

1

2

0

2

x

x

     Suy ra a = 6 hoặc a = -2 (thỏa mãn (*) ) Thử lại ta thấy a = 6, a = -2 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 0,25® Bài 3: 2,0 ®

Vì BE là phân giác góc ãABC nên · · ¼ ¼ ABM MBC AM MN    0,25® · · MAE MAN   (1) 0,50® Vì M, N thuộc đường tròn đường kính AB nên · · 0 90 AMB ANB   0,25®

 · · 0 90 ANK AME   , kết hợp với (1) ta có tam giác AME đồng dạng với tam giác ANK

0,50®

AN AK AM AE   0,25®

 AN.AE = AM.AK (đpcm) 0,25® Bài 4: 1,5 ®

Vì tứ giác AMIN nội tiếp nên · · ANM AIM  Vì tứ giác BMNC nội tiếp nên · · ANM ABC  · · AIM ABC   .Suy ra tứ giác BOIM nội tiếp

0,25®

Từ chứng minh trên suy ra tam giác AMI đồng dạng với tam giác AOB

. . AM AI AI AO AM AB AO AB     (1)

0,25®

Gọi E, F là giao điểm của đường thẳng AO với (O) (E nằm giữa A, O). Chứng minh tương tự (1) ta được: AM.AB = AE.AF = (AO - R)(AO + R) (với BC = 2R)

= AO2 - R2 = 3R2

0,25®

 AI.AO = 3R2

2 2 3 3 3 2 2 2 R R R R AI OI AO R       (2) 0,25®

Tam giác AOB và tam giác COK đồng dạng nên

OA.OK = OB.OC = R2

2 2

2 2 R R R OK OA R     (3)

0,25®

Từ (2), (3) suy ra OI = OK Suy ra O là trung điểm IK, mà O là trung điểm của BC Vì vậy BICK là hình bình …