Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên Thái Bình năm 2015-2016 môn thi Toán (dành cho tất cả thí sinh)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI BÌNH

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM 2015-2016

MÔN THI: TOÁN (Dành cho tất cả thí sinh) Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (3,0 điểm).

Cho biểu thức: x x x

x x x x

x x x x P    

   

2 1 2 2  . 1 ;0   x x

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tính giá trị của thức P khi 2 2 3  x

c) Chứng minh rằng: với mọi giá trị của x để biểu thức P có nghĩa thì biểu thức chỉ P 7

nhận một giá trị nguyên.

Bài 2 (2,0 điểm).

Cho phương trình x2 – 2mx + (m – 1)3 = 0 (m là tham số).

a) Giải phương trình khi m = –1.

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng bình phương nghiệm còn lại.

Bài 3 (1,0 điểm).

Giải phương trình: .0 1 9 2

2 9

2 2    

x

x x

Bài 4 (3,5 điểm).

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Đường tròn đường kính AH, tâm O, cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại E và F. Gọi M là trung điểm của cạnh HC.

a) Chứng minh AE.AB = AF.AC.

b) Chứng minh rằng MF là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH.

c) Chứng minh HAM = HBO

d) Xác định điểm trực tâm của tam giác ABM.

Bài 5 (0,5 điểm). Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng:

2 3 1 1 1 1 1 1

2 2 2       c b a

Hết

Họ và tên thí sinh: …………………………………………………………………………..

ThuVienDeThi.com

SỞ GD-ĐT THÁI BÌNH KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM 2015-2016

DỰ THẢO HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM

MÔN TOÁN CHUNG

CÂU NỘI DUNG ĐIỂM 1a 2 2 1 1 x x x x x P

x x x x x         0,25     

    

1 1 1 1 2 2

1 1

x x x x x x x

x x x x x

            0,5    1 1 2 2 x x x x x

x x x

       

0,5

2 2 2 2 2 2 x x x x x      

0,25 1b Ta có 3 2 2 2 1 x x      0,25

Thay vào biểu thức  

2 2 2 1 2

2 1 P    

 0,25

Tính được kết quả 4 2 2 P   0,25 1c

Đưa được 7 7 2 2 2 x P x x 

  0,25

Đánh giá , suy ra 2 2 2 6 x x x    7 7 0 6 2 2 2 x x x     0,25

Vậy chỉ nhận một giá trị nguyên đó là 1 khi 7 P

4 2 7 2 2 2 2 5 2 1 1

4 2

x x x x x x x

x x

                    0,25 2a Khi ta có phương trình 1 m  2 2 8 0 x x    0,5 Giải phương trình ta được hai nghiệm: 1 2 2; 4 x x   0,5 2b Tính được  

3 2 ' 1 m m    0,25

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt  

3 2 1 0 (*) m m     0,25 Gọi là hai nghiệm của phương trình, theo Viet ta có 1 2 ; x x

 

1 2

3 1 2

2 (1)

1 (2)

x x m

x x m

     

ThuVienDeThi.com

Giả sử thay vào (2) ta được 

2 1 2 x x   

2 2 1 1; 1 x m x m     0,25 Thay hai nghiệm vào (1) ta được 1 2 ; x x

    2 2 0 1 1 2 3 0 3 m m m m m m m

           

Khẳng định hai giá trị vừa tìm được thỏa mãn điều kiện (*), kết luận m 0,25 3 Điều kiện: , đưa phương trình trở thành: 0 x 

2

2 2 2 9 2 3 0 2 9

x x x x

     0,25

Đặt ẩn phụ: , phương trình trở thành: 2 2 9

x t x

 

   3 2 2

1 2 3 1 0 1 2 1 0 1 2

t t t t t t

t

           0,25

Trường hợp: ta có (vô nghiệm) 1 t  2 2 9 x x   0,25

Trường hợp: ta có 1 2 t  2

2

0 3 2 2 9 2 2 2 9

x x x x x

          0,25 4a

K

F

E

A

B

C H

O

M

Xét hai tam giác: AEF và ACB có góc A chung 0,25

Ta có suy ra : : : : ; AEF AHF AHF ACB   : : AEF ACB 

(hoặc suy ra ) : : : : ; AFF AHE AHE ABC   : : AFE ABC  0,25 Suy ra hai tam giác AEF và ACB đồng dạng 0,25

Từ tỷ số đồng dạng ta có AE.AB = AC.AF AE AF AC AB  0,25 4b Xét hai tam giác OHM và OFM có OM chung, OF = OH. 0,25 Có MF = MH (vì tam giác HFC vuông tại F, trung tuyến FM) 0,25 Suy ra (c.c.c) OHM OFM   0,25

Từ đó , MF là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH : 0 90 MFO  0,25 4c Xét hai tam giác AHM và BHO có : : 0 90 AHM BHO   0,25 Trong tam giác vuông ABC, đường cao AH có

2 . .2 .2 AH HM AH HB HC AH OH HB HM HB HO      0,25

ThuVienDeThi.com