Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên năm học 2015 - 2016 môn Toán (chuyên) Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2015 - 2016 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN Đề chính thức Môn: TOÁN(CHUYÊN) Ngày thi: 05/06/2015 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Bài 1: (2 điểm)

a) Cho số thực x > 0 thỏa mãn điều kiện: 2

2 1 x 14 x  

Tính giá trị các biểu thức 3

3 1 A x

x   và 5

5 1 B x

x  

b) Rút gọn biểu thức A 8 2 10 2 5 8 2 10 2 5       Bài 2: (2 điểm)

a) Tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn: 2 2 2 x 5y z 2(y z) 4xy 1      

b) Giải hệ phương trình:

1 1 2 2 y x

1 1 2 2 x y

          

Bài 3: (2 điểm)

a) Chứng minh phân số 21n 4 14n 3  

là tối giản với mọi n nguyên dương.

b) Giải phương trình 2 x mx n 0    , biết rằng phương trình có hai nghiệm nguyên dương phân biệt và m, n là hai số nguyên tố. Bài 4: (3 điểm)

Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) cắt nhau tại I và J (R’ > R). Kẻ các tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó; chúng cắt nhau ở A. Gọi B và C là các tiếp điểm của hai tiếp tuyến trên với (O’; R’); D là tiếp điểm của tiếp tuyến AB với (O ; R) (điểm I và điểm B ở cùng nửa mặt phẳng bờ là O’A). Đường thẳng AI cắt (O’; R’) tại M (điểm M khác điểm I ). a) Gọi K là giao điểm của đường thẳng IJ với BD. Chứng minh 2 KB = KI.KJ ; từ đó suy ra KB = KD. b) AO’ cắt BC tại H. Chứng minh 4 điểm I, H, O’, M nằm trên một đường tròn. c) Chứng minh đường thẳng AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp Δ IBD Bài 5: (1 điểm) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng

3 3 3

2 2 2 2 2 2 a b c a + b + c + + 3 a + ab + b b + bc + c c + ac + a



GV: Võ.M.Trình – THCS Cát Minh – Phù Cát – Bình Định

ThuVienDeThi.com

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2015 - 2016

HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: (2 điểm)

a) Từ giả thiết suy ra:

2 1 1 x + 16 x + 4 x x        

(do x > 0)

 2 3 2 3 1 1 1 1 4.14 x + x + = x + + x + x x x x                  

 3

3 1 A x + 52 x  

 2 3 5 2 3 5 1 1 1 1 14.52 x x x x x x x x                            

 5

5 1 B x 724 x   

b) Ta chứng minh được:

2 2 X + X Y X X Y X ± Y = ± 2 2    , với

2 X 0; Y 0; X Y   

A 8 40 8 5 8 40 8 5       8 64 40 8 5 8 64 40 8 5 2 2

               

8 64 40 8 5 8 64 40 8 5 2 2

               

8 24 8 5 8 2 5 2 2. 2. 2 2        

2 12 4 5 10 2 10 2      

Cách 2: Ta có A > 0

2 A 8 2 10 2 5 (8 2 10 2 5)(8 2 10 2 5) 8 2 10 2 5           

  2 16 2 8 4 10 2 5 16 2 24 8 5       

   

2 16 2 2 5 2 12 4 5 2 5 1        A 2 10    Bài 2: (2 điểm)

a) BĐT 2 2 2 x + 5y + z + 2y 2z 4xy 1    

Vì x, y, z nguyên nên: 2 2 2 x + 5y + z + 2y 2z 4xy 2   

2 2 2 2 x 4xy + 4y + y + 2y + 1 + z 2z + 1 0    

      2 2 2 x 2y + y + 1 + z 1 0    

x 2y = 0 x = 2 y + 1 = 0 y = 1 z 1 = 0 z = 1

               

.

b) Điều kiện: 1 1 x ;y 2 2  

Từ hệ suy ra 1 1 1 1 2 2 y x x y      (1)

Nếu 1 1 1 1 x y 2 2 y x x y        VT(1) > VP(1)

ThuVienDeThi.com