Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT tỉnh Phú Thọ năm học 2008-2009 môn Toán

sở giáo dục và đào tạo phú thọ kỳ thi tuyển sinh lớp 10 thpt năm học 2008-2009

Môn: Toán Thời gian làm bài: 120 phút không kể thời gian giao đề

(Đề thi có 01 trang) Ngày thi: 25/6/2008 _____________________________

Câu 1 (2 điểm).

a) Giải hệ phương trình sau:

2x y 5 x y 1      

b) Giải phương trình x4 - 10x2 + 9 = 0

Câu 2 (3 điểm). Cho phương trình: x2- 2(m+1)x + m2-1 = 0 (1), (m là tham số).

a) Giải phương trình (1) khi m = 7.

b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm.

c) Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình (1), hãy tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 sao cho hệ thức đó không phụ thuộc tham số m.

Câu 3 (4 điểm). Cho đường thẳng d và một điểm A không nằm trên d, kẻ AB vuông góc với d , vẽ đường tròn đường kính AB. Cho C là một điểm di động trên đường tròn ( ) B d  (C khác A và B), kẻ đường kính CD của đường tròn đó, nối AC kéo dài cắt d tại M, nối AD kéo dài cắt d tại N.

a) Chứng minh tứ giác CDNM là tứ giác nội tiếp.

b) Gọi I là trung điểm của MN, chứng minh AI vuông góc với CD.

c) Xác định vị trí của C sao cho độ dài đoạn MN nhỏ nhất.

Câu 4 (1 điểm). Cho x, y là các số thỏa mãn: x>0, y>0 và x+y 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu  thức :

2 2 1 1 P xy x y xy     -------------------------------- hết -------------------------------

Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ............................................................, SBD: ...............................

Đề chính thức

ThuVienDeThi.com

1

sở giáo dục và đào tạo phú thọ kỳ thi tuyển sinh lớp 10 thpt năm học 2008-2009

Hướng dẫn chấm môn Toán

(Đề chính thức, ngày thi 25/6/2008)

Câu lời giảI sơ lược Điểm

Từ hệ phương trình 2x y 5 x y 1       Cộng hai phương trình với nhau ta được 3x = 6  x=2.

0,5

a)

Thay x=2 vào hệ phương trình đã cho ta được y=1 0,5

Đặt x2 = y, ta được phương trình: y2–10y+9 = 0 Từ đó giải được y=1, y=9. 0,5

Câu1 (2 điểm)

b)

Từ đó ta được các nghiệm của phương trình đã cho là : x=–1 ; x=1 ; x=–3 ; x=3. 0,5

Với m=7, ta được phương trình :

x2- 16x + 48 = 0 0,5 a)

Giải phương trình này ta được 2 nghiệm: x=4; x=12 0,5

Phương trình x2- 2(m+1) x + m2-1 = 0 có nghiệm khi và chỉ khi ' 0  0,5 b)

(m+1)2 – (m2-1) 0 2m+2 0 m -1       0,5

Vì x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình (1) nên theo Viet ta có:

( ) ( )

. ( )

1 2

2 1 2

x x 2 m 1 2

x x m 1 3

       

0,5

Câu 2 (3 điểm)

c)

Từ (2) ta được , thay vào (3), ta được: 1 2 x x m 1 2   

hay : ( ) ( )

2 1 2 1 2 1 2 x x x x x x 4    

( ) ( ) 2 1 2 1 2 x x 4 x x 0    

0,5

ThuVienDeThi.com

2

0,5

Ta có (cùng chắn cung AD) ACD ABD   0,25

(góc có cạnh tương ứng vuông góc) ABD ANM   0,25

Từ đó ACD ANM   0,25

a)

Từ đó tứ giác CDNM là tứ giác nội tiếp. 0,25

Theo chứng minh trên ta có: ACD ANM   0,25

Mặt khác do AI là trung tuyến thuộc cạnh huyền của tam giác vuông MAN nên IA=IN  ANM NAI   0,25

Từ đó ACD NAI   0,25

b)

.Vậy  NAI ADC 1v    AI CD  0,25

Ta có MN = MB + BN Theo Côsi, ta có: . MN MB BN 2 MB BN   

0,5

Lại có trong tam giác vuông AMN, do AB là đường cao thuộc cạnh huyền nên . MB BN AB 

Do đó không . MN MB BN 2 MB BN 2AB     đổi.

0,5

Câu3 (4,0 điểm)

c)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi MB = BN = AB

Do đó MN đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MB = BN = AB, khi đó tam giác AMN cân tại A và I trùng với B, suy ra CD//MN.

0,5

M

A

B

C

D

N I d

ThuVienDeThi.com