Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên TP Hà Nội năm học 2014 2015 môn thi Toán (Dành cho thí sinh thi chuyên Tin)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ NỘI

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN

Năm học 2014 – 2015 Môn thi : Toán Ngày thi : 24 tháng 6 năm 2014 Thời gian làm bài: 150 phút (Dành cho thí sinh thi chuyên Tin)

Bài I (2,0 điểm)

1) Giải phương trình 4 5 2 2 2 2 1 0. x x x    

2) Giải hệ phương trình  

2 2 2 1 3

6 9

x y y

x y xy

        

.

Bài II (2,5 điểm)

1) Chứng minh nếu n là số nguyên dương thì     5 5 3 2 9 11 n n n n n n    chia hết cho 21.

2) Tìm các cặp số nguyên   ;x y thỏa mãn 2 2 5 2 2 2 4 0. x y xy x y      

3) Chứng minh trong 2014 số nguyên dương 1 2 3 2014 , , ,..., a a a a thỏa mãn điều kiện

2 2 2 1 2 2014

1 1 1 ... 4 a a a     luôn tìm được ít nhất 3 số bằng nhau.

Bài III (1,5 điểm)

Với ba số dương , , x y z thỏa mãn 1, x y z    chứng minh

2 2 2 1 1 1 6. x y z x yz y zx z xy         

Bài IV (3,0 điểm)

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn  O , H là trung điểm của . BC M là điểm bất kì thuộc đoạn thẳng BH ( M khác B). Lấy điểm N thuộc đoạn thẳng CA sao cho

. CN BM  Gọi I là trung điểm của . MN

1) Chứng minh bốn điểm , , , O M H I cùng thuộc một đường tròn.

2) Xác định vị trí của điểm M để đoạn thẳng MN có độ dài nhỏ nhất.

3) Khi điểm M thay đổi và thỏa mãn điều kiện đề bài, chứng minh diện tích tam giác

IAB không đổi.

Bài V (1,0 điểm)

Cho tập hợp A gồm 36 số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 36. Chứng minh trong 25 phần tử bất kì của tập hợp A luôn tìm được 3 phần tử là 3 số đôi một nguyên tố cùng nhau.

-------- Hết --------

Lưu ý: Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ………………………… Số báo danh: ……………………………

Chữ kí của giám thị 1:……………………... Chữ kí của giám thị 2:………………....

ĐỀ CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com