Tuyển chọn các đề Toán ôn vào 10 - Hà Nội

PTC_1011QĐ_01 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHTN

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10- THPT CHUYÊN

Năm học 2010- 2011 Môn thi: TOÁN- Vòng I

Câu I

1) Giải hệ phương trình



 

 

  

.2

23 12 8 3

2 2

2 2

y x

xy y x

2) Giải phương trình

.1 8 3 1 2 4 3 1 2 3 2        x x x x Câu II

1) Tìm tất cả các số nguyên không âm (x, y) thoả mãn đẳng thức

      . 25 1 2 4 1 1 2 2        xy y x xy y x 2) Với mỗi số thực a, ta gọi phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a và ký hiệu là [a]. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn có.

  n n n

n n  

 





    1

1 ... 3.2 7 2.1 3 2

Câu III

Cho đường tròn (O) với đường kính AB = 2R. Trên đường thẳng tiếp xúc với đương tròn (O) tại A ta lấy điểm C sao cho góc . Gọi H là giao điểm thứ hai 0 30  ACB của đường thăng BC với đường tròn (O).

1) Tính độ dài đương thẳng AC, BC và khoảng cách từ A đến đương thẳng BC theo R. 2) Với mỗi điểm M trên đoạn thẳng AC, đường thẳng BM cắt đường tròn (O tại điểm N (khác B). Chứng minh rằng bốn điểm C, M, N, H nằm trên cùng một đường tròn và tâm đường tròn đó luôn chạy trên một đường thẳng cố định khi M thay đổi trên đoạn thẳng AC. Câu IV

Với a,b là các số thực thoả mãn đẳng thức , hãy tìm giá trị nhỏ 4 9 ) 1 )( 1(    b a

nhất của biểu thức . 4 4 1 1 b a P    

----------------------------------------------- Hết -------------------------------------------

HD giải đề MÔN TOÁN (Vòng 1) Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề)

Câu I

3) Giải hệ phương trình



 

 

  

.2

23 12 8 3

2 2

2 2

y x

xy y x

ThuVienDeThi.com

4) Giải phương trình

.1 8 3 1 2 4 3 1 2 3 2        x x x x Hướng dẫn 1) Cộng cả hai phương trình ta được (2x+3y)2=25 Ta có hai hệ

Và   

 

 

2

5 3 2

2 2 y x

y x

  

 

  

2

5 3 2

2 2 y x

y x

Giai ra ta được PT có 4 nghiệm 1,-1; 13

7 ; 13

7 

2) §KX§ 2

1   x

§Æt ) 0 ( 1 2 4 ); 0 ( 1 2 2        b b x x a a x Ta cã (1-b)(a-3) =0

b=1 th× ;a=3 th× 2 1 ;0 2 1   x x 4 3  x

Câu II

3) Tìm tất cả các số nguyên không âm (x, y) thoả mãn đẳng thức

      . 25 1 2 4 1 1 2 2        xy y x xy y x 4) Với mỗi số thực a, ta gọi phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a và ký hiệu là [a]. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn có.

  n n n

n n  

 





    1

1 ... 3.2 7 2.1 3 2

Hướng dẫn 1)Phá ngoặc

        

25 )1 )( 1 ( 25 ) 1 (

25 ) ( 1 2 )1 ( . 25 1 2 4 1 1

2 2

2 2 2 2

        

              

y x y x xy

y x xy y x xy xy y x xy y x

vì x,y không âm nên (x+1)(y+1)=5 ta có (x;y)=(0;4);(4;0)

2) xÐt ) ( 1 1 1 1 1 )1 ( )1 (

1 )1 ( )1 (

1 2 2

N k k k k k

k k k

k k k

k k k

k k              

 

Thay k lần lượt từ 1 đến n ta có

(đpcm)   n n

n n n n n n

n n     

      

    

 





    1 1 1 1 1

1 ... 3.2 7 2.1 3 2

Câu III

Cho đường tròn (O) với đường kính AB = 2R. Trên đường thẳng tiếp xúc với đương tròn (O) tại A ta lấy điểm C sao cho góc . Gọi H là giao điểm thứ hai 0 30  ACB của đường thăng BC với đường tròn (O).

3) Tính độ dài đương thẳng AC, BC và khoảng cách từ A đến đương thẳng BC theo R. 4) Với mỗi điểm M trên đoạn thẳng AC, đường thẳng BM cắt đường tròn (O tại điểm N (khác B). Chứng minh rằng bốn điểm C, M, N, H nằm trên cùng một đường tròn và tâm đường tròn đó luôn chạy trên một đường thẳng cố định khi M thay đổi trên đoạn thẳng AC.

Hướng dẫn

ThuVienDeThi.com