Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT - Hà Nội năm học 2012 2013 môn Toán

www.MATHVN.com

www.mathvn.com 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI Năm học: 2012 – 2013 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút Bài I (2,5 điểm)

1) Cho biểu thức 4 2 x A x

+ =

+

Tính giá trị của biểu thức A khi x = 36.

2) Rút gọn biểu thức 4 16 : 4 4 2 x x B x x x

  + = +     + − +   (với x ≥ 0, x ≠16).

3) Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức B(A – 1) là số nguyên. Bài II (2,0 điểm) Giái bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Hai người cùng làm chung một công việc trong 12

5 giờ thì xong. Nếu mỗi người làm

một mình thì thời gian để người thứ nhất hoàn thành công việc ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu giờ để xong công việc? Bài III (1,5 điểm)

1) Giải hệ phương trình

2 1 2

6 2 1

x y

x y

 + =   − = 

2) Cho phương trình : 2 2 (4 1) 3 2 0 x m x m m − − + − = (ẩn x). Tìm m để phương trình có

hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện 2 2 1 2 7 x x + = Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Bán kính CO vuông góc với AB, M là điểm bất kì trên cung nhỏ AC (M khác A và C), BM cắt AC tại H. Gọi K là hình chiếu của H trên AB. 1) Chứng minh tứ giác CBKH là tứ giác nội tiếp.

2) Chứng minh ACM ACK = 3) Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM. Chứng minh tam giác ECM là tam giác vuông cân tại C. 4) Gọi d là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm A. Cho P là một điểm nằm trên d

sao cho hai điểm P, C nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và . AP MB R MA = .

Chứng minh đường thẳng PB đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK. Bài V (0,5 điểm) Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x ≥ 2y, tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức M =

2 2 x y xy

+ .

ThuVienDeThi.com

www.MATHVN.com

www.mathvn.com 2

BÀI GIẢI Bài I: (2,5 điểm)

1) Với x = 36, ta có : A = 36 4 10 5 8 4 36 2 + = = +

2) Với x ≥, x ≠ 16 ta có :

B = x( x 4) 4( x 4) x 2 x 16 x 16 x 16

  − + + +     − − +   = (x 16)( x 2) x 2 (x 16)(x 16) x 16 + + + = − + −

3) Biểu thức B (A – 1) = x 2 x 4 x 2 x 16 x 2

  + + − −     − +  

= 2 x 16 − là số nguyên

⇔ x – 16 = ±1 hay x – 16 = ±2 ⇔ x = 15 hay x = 17 hay x = 14 hay x = 18 Bài II: (2,0 điểm) Đặt x là số giờ người thứ nhất hoàn thành công việc ⇒ x + 2 là số giờ người thứ hai hoàn thành công việc. Vậy ta có phương trình :

1 1 5 x x 2 12 + = + ⇔ x = 4

Vậy người thứ nhất làm xong công việc trong 4 giờ và người thứ hai làm xong công việc trong 6 giờ. Bài III: (1,5 điểm)

1)

2 1 2 x y 6 2 1 x y

 + =   − = 

⇔

2 1 2 x y 5 5 [pt(2) 3pt(1)] y

 + =  − = − − 

⇔

y 1 2 1 x

=  = 

⇔ x 2

y 1

=  = 

2) ∆ = (4m – 1)2 – 12m2 + 8m = 4m2 + 1 > 0, ∀m Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt ∀m

Ta có : x1 + x2 = b a − = 4m – 1 và x1.x2 = c

a = 3m2 – 2m

Do đó, ycbt ⇔ (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 7

⇔ (4m – 1)2 – 2(3m2 – 2m) = 7 ⇔ 10m2 – 4m – 6 = 0 ⇔ m = 1 hay m = 3

5 −

Bài IV: (3,5 điểm)

A B

C M

H

K O

Q

P E

ThuVienDeThi.com