30 Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán (giải chi tiết)

1

Sở giáo dục và đào tạo

HảI dương

Đề thi chính thức

Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên

nguyễn trãi - Năm học 2009-2010

Môn thi : toán Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi 08 tháng 7 năm 2009

(Đề thi gồm: 01 trang) Câu I (2.5 điểm):

1) Giải hệ phương trình:

       

2 2

2 x y xy 3 xy 3x 4

2) Tìm m nguyên để phương trình sau có ít nhất một nghiệm nguyên:

     2 2 4x 4mx 2m 5m 6 0 Câu II (2.5 điểm):

1) Rút gọn biểu thức:

với                

 

3 3 2

2

2 4 x 2 x 2 x A

4 4 x

  2 x 2

2) Cho trước số hữu tỉ m sao cho là số vô tỉ. Tìm các số hữu tỉ a, b, c để: 3 m

3 2 3 a m b m c 0    Câu III (2.0 điểm):

1) Cho đa thức bậc ba f(x) với hệ số của x3 là một số nguyên dương và biết . Chứng minh rằng: là hợp số.   f(5) f(3) 2010  f(7) f(1)

2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:       2 2 P x 4x 5 x 6x 13

Câu IV (2.0 điểm):

Cho tam giác MNP có ba góc nhọn và các điểm A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của M, N, P trên NP, MP, MN. Trên các đoạn thẳng AC, AB lần lượt lấy D, E

sao cho DE song song với NP. Trên tia AB lấy điểm K sao cho . Chứng : :  DMK NMP minh rằng:

1) MD = ME 2) Tứ giác MDEK nội tiếp. Từ đó suy ra điểm M là tâm của đường tròn bàng tiếp góc DAK của tam giác DAK. Câu V (1.0 điểm):

Trên đường tròn (O) lấy hai điểm cố định A và C phân biệt. Tìm vị trí của các điểm B và D thuộc đường tròn đó để chu vi tứ giác ABCD có giá trị lớn nhất.

-----------------------Hết-----------------------

ThuVienDeThi.com

2

Hướng dẫn chấm

Câu Phần nội dung Điểm        

2 2

2 x y xy 3 (1)

xy 3x 4 (2)

Từ (2) x 0. Từ đó , thay vào (1) ta có:  

2 4 3x y x   0.25

2 2 2 2 4 3x 4 3x x x. 3 x x            0.25  4 2 7x 23x 16 0    0.25

Giải ra ta được 2 2 16 x 1 hoặc x = 7  0.25

Từ ; 2 x 1 x 1 y 1     2 16 4 7 5 7 x x y 7 7 7      0.25

1)

1,5điểm

Vậy hệ có nghiệm (x; y) là (1; 1); (-1; -1); ;         

4 7 5 7 ; 7 7

        

4 7 5 7 ; 7 7 0.25 Điều kiện để phương trình có nghiệm: x ' 0   0.25

. Vì (m - 2) > (m - 3) nên: m 5m 6 0 (m 2)(m 3) 0         

x ' 0   m 2 0 và m 3 0     2 m 3, mà m Z     m = 2 hoặc m = 3.  0.25 Khi m = 2 = 0 x = -1 (thỏa mãn)  x '  

Khi m = 3 = 0 x = - 1,5 (loại).  x '   0.25

câu I

2,5 điểm

2)

1,0điểm

Vậy m = 2. 0.25

Đặt a 2 x; b 2 x (a, b 0)     

2 2 2 2 a b 4; a b 2x      0.25 1)

1,5điểm

     3 3 2 2 2 ab a b 2 ab a b a b ab A 4 ab 4 ab

           0.25      2 ab a b 4 ab A 2 ab a b 4 ab

         0.25

câu II

2,5 điểm

  A 2 4 2ab a b     0.25

ThuVienDeThi.com

3

     2 2 A 2 a b 2ab a b a b a b         0.25

2 2 A 2 a b 2x A x 2       0.25

(1) 3 2 3 a m b m c 0    Giả sử có (1)

3 2 3 b m c m am 0 (2)    

Từ (1), (2) 2 2 3 (b ac) m (a m bc)     0.25

Nếu là số hữu tỉ. Trái với giả thiết! 2a m bc 0  

2 3

2 a m bc m b ac    

2 3

2 2 b ac 0 b abc

a m bc 0 bc am

                  0.25

. Nếu b 0 thì là số hữu tỉ. Trái với giả thiết! 3 3 3 b a m b a m      3 b m a 

. Từ đó ta tìm được c = 0. a 0;b 0    0.25

2)

1,0điểm

Ngược lại nếu a = b = c = 0 thì (1) luôn đúng. Vậy: a = b = c = 0 0.25 Theo bài ra f(x) có dạng: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d với a nguyên dương. 0.25 Ta có: 2010 = f(5) - f(3) = (53 - 33)a + (52 - 32)b + (5 - 3)c = 98a + 16b + 2c 16b + 2c = (2010- 98a)  0.25 Ta có f(7) - f(1) = (73 - 13)a + (72 - 12)b + (7 - 1)c = 342a + 48b + 6c = 342a + 3(16b + 2c) = 342a + 3(2010- 98a)= 48a + 6030 = 3.(16a + 2010) 3  0.25

1)

1,0điểm

Vì a nguyên dương nên 16a + 2010>1 . Vậy f(7)-f(1) là hợp số 0.25           2 2 2 2 P x 2 1 x 3 2

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy lấy các điểm A(x-2; 1), B(x+3; 2) 0.25

Ta chứng minh được:              2 2 AB x 2 x 3 1 2 25 1 26

,      2 2 OA x 2 1      2 2 OB x 3 2 0.25

Mặt khác ta có:   OA OB AB            2 2 2 2 x 2 1 x 3 2 …