Xem trước nội dung
Phòng GD & ĐT Đông sơn Đề thi học sinh giỏi lớp 9 (Bảng A)
Môn : Toán (Thời gian làm bài: 150 phút.)
Bài 1: Cho biểu thức: A = : ) 1 1 .( ) (
2 2 1 ). 1 1 ( 3 y x y x xy y x y x
xy xy
y x
a, Rút gọn biểu thức A. b, Tính giá trị biểu thức A khi x = 3 + ; y = 3 - 5 5 (Đề sáng tác) Bài 2: Cho 3 số a, b, c 0 thỏa mãn: a b c và a3+b3 +c3 = 3abc.
P = ; Q = c
a c a
c b c
b a
a c
b c b
a b a
c
Chứng minh rằng : P.Q = 9. (Tương tự bài 53-"23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp") Bài 3: Giải phơng trình : (4x – 1) = 2(x2+1) + 2x -1. 1 x2 (Bài 16 -trang 11-"Phương trình và hệ phương trình không mẫu mực") Bài 4: Giải hệ phương trình sau:
13 y 3 x 4 xy 18 y x
y x y x
(Đề sáng tác) Bài 5: Cho 3 số x,y,z thỏa mãn x + y + z = 3 và x4+y4+z4 =3xyz. Hãy tính giá trị của biểu thức M = x2006 + y2006 + z2006 (Đề sáng tác ) Bài 6: Cho Parabol (P) có phương trình y = x2 và điểm A(3;0) ; Điểm M thuộc (P) có hoành độ a. a) Xác định a để đoạn thẳng AM có độ dài ngắn nhất . b) Chứng minh rằng khi AM ngắn nhất thì đường thẳng AM vuông góc với tiếp tuyến của (P) tại điểm M. (Bài 579-"23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp") Bài 7: Tìm nghiệm nguyên của phương trình : x3 + x2 + x +1 = 2003y (Đề sáng tác) Bài 8: Cho tam giác ABC vuông ở A. I là trung điểm của cạnh BC, D là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Đường trung trực của AD cắt các đường trung trực của AB, AC theo thứ tự tại E và F. a) Chứng minh rằng: 5 điểm A,E,I,D,F cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh rằng: AE.AC = AF.AB. c) Cho AC = b; AB = c. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác AEF theo b, c ( Đề sáng tác) Bài 9: Cho tam giác ABC cân tại A. Một điểm P di động trên BC. Qua P vẽ PQ//AC (Q AB) và PR//AB (R AC). Tìm quỹ tích các điểm D đối xứng với P qua QR. (Bài 1000 -"23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp")
Hướng dẫn chấm thi học sinh giỏi lớp 9
Môn : Toán
ThuVienDeThi.com
Bài Lời giải Biểu điểm
1
a) ĐKXĐ : x >0 ; y>0 ; x y
A = : ) y
1
x
1 .( ) y x (
2
xy 2 y x
1 ). y 1 x 1 ( 3
xy xy
y x
= . ) y . x .( ) y x (
) y x ( 2
) y x .( xy
y x
3 2
y x
xy xy
= . 2) y x ( xy
xy 2 y x
y x
xy xy
= . = xy
1
y x
xy xy
y x
xy
b) Với x= 3 + Và y = 3 - ta có : x >y do đó 5 5
A = 0 y x
xy
Mà A2 = 8 2.2 6
4
) 5 ( 3 .2 ) 5 3 ( ) 5 3 (
] ) 5 3 .( ) 5 3 [(
xy 2 y x
) xy ( 2
2 2
2 2
Vậy : A = 2 2 8
0,25
0,75
0,25
0,75
2
Ta có : a3 + b3 + c3 = 3abc a3 + b3 + c3 -3abc = 0 (a + b + c ) ( a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc ) = 0 (1)
Mà a2 + b2 + c2 - ab – ac –bc = [(a –b )2 + (b – c)2 +(c-a)2 ] 0 2 1
( Do a b c ) Do đó:(1) a +b +c = 0 a +b = - c ; a +c = -b ; b +c = -a (2) Mặt khác :
P = abc
) a c ( ac ) c b ( bc ) a b ( ab b
a c a
c b c
b a
P = (3) abc
) c a )( c b )( b a ( abc
c a ac bc c b ) b a ( ab 2 2 2 2
Hơn nữa :
Đặt Ta có (do (2) )
y a c
x c b
z b a
b 3 b 2 c a x z
a 3 a 2 c b z y
c 3 c 2 b a y x
Vì thế :
Q = ) y
x z x
z y z
y x ( 3 1 a c
b c b
a b a
c
= - ( Biến đổi tương tự rút gọn P ) xyz
) z x ).( z y ).( y x (. 3 1
= - ) a c ). c b ).( b a (
)] b 3 ( ).[ a 3 ).( c 3 (. 3 1
= (4) ) a c )( c b )( b a (
abc 9
0,5
0,5
ThuVienDeThi.com
Trên đây là phần đầu tài liệu — bấm Đọc sách để xem đầy đủ.
