Chuyên đề Số Phức - Bồi dưỡng kiến thức và Luyện Thi THPT Quốc Gia

Chuyên Đề Số Phức Bồi dưỡng kiến thức và Luyện Thi THPT Quốc Gia

Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 2

MỤC LỤC

CHỦ ĐỀ 3. TÌM TẬP HỢP ĐIỂM ................................................................................................. 3

I. MỘT SỐ VÍ DỤ RÈN LUYỆN KĨ NĂNG ............................................................................... 3

II. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN ................................................. 10

ThuVienDeThi.com

Chuyên Đề Số Phức

Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 3

CHỦ ĐỀ 3. TÌM TẬP HỢP ĐIỂM

Phương pháp

 Giả sử các điểm M, A ,B lần lượt biểu diễn các số phức z, a, b.

o z a z b MA MB M       thuộc đường trung trực của đoạn AB.

o   z a z b k, k R,k 0,k a b MA MB k           

M  thuộc elip (E) nhận A, B là hai tiêu điểm và có độ dài trục lớn bằng k.

 Giả sử M và M’ lần lượt biểu diễn các số phức z và  w f z . 

Đặt z x iy   và w u iv     x,y,u,v R . 

Hệ thức  w f z  tương đương với hai hệ thức liên hệ giữa x,y,u,v

o Nếu biết một hệ thức giữa x,y, ta tìm được một hệ thức giữa u,v và suy ra được tập

hợp các điểm M’.

o Nếu biết một hệ thức giữa u,v ta tìm được một hệ thức giữa x,y và suy ra được tập

hợp các điểm M.

I. MỘT SỐ VÍ DỤ RÈN LUYỆN KĨ NĂNG

Ví dụ 1. Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z trong các trường hợp sau: {Đường thẳng }

a) z i z i ;    b) z 1 3i 1; z 1 i    c) 0 0 z z z z 1 0   với 0 z 1 i. 

Giải

a) Cách 1. Đặt a i  và b i. 

Gọi   A 0; 1  và   B 0;1 lần lượt biểu diễn các số phức a và b, suy ra

z i z a MA     và z i z b MB.    

Ta có z i z i MA MB M       thuộc đường trung trực của AB, đó chính là trục Ox.

Vậy tập hợp các điểm M là trục Ox.

Cách 2. Đặt   z x yi, x,y   

Lúc đó:

   

        2 2 2 2 2 2 2 2

z i z i x yi i x yi i x y 1 i x y 1 i

x y 1 x y 1 x y 1 x y 1

4y 0 y 0.

              

           

   

Vậy tập hợp các điểm M là trục Ox.

b) Cách 1. Ta có:

 z 1 3i 1 z 1 3i z 1 i , 1 z 1 i       

Đặt a 1 3i  biểu diễn bởi các điểm A(-1;3) và b 1 i được biểu diễn bởi điểm B(1;-1). Ta có (1)

z a z b MA MB.      

ThuVienDeThi.com

Chuyên Đề Số Phức Bồi dưỡng kiến thức và Luyện Thi THPT Quốc Gia

Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 4

Vậy tập hợp các điểm M là đường trung trực đoạn AB.

Cách 2. Đặt   z x yi, x,y    Lúc đó:

           

       

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

z 1 3i 1 z 1 3i z 1 i x yi 1 3i x yi 1 i z 1 i

x 1 y 3 i x 1 y 1 i x 1 y 3 x 1 y 1

x 1 y 3 x 1 y 1

x 2x 1 y 6y 9 x 2x 1 y 2y 1 2x 6y 10 2x 2y 2 4x 8y 8 0 x 2y 2 0

            

             

       

                       

Vậy tập điểm M là đường thẳng x 2y 2 0    .

Lời bình: Ở trên ta đã sử dụng công thức 1 1

2 2

z z . z z  Phương trình đường thẳng x 2y 2 0   

chính là phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB.

c) Với 0 z 1 i,  đặt   z x iy, x,y R ,    ta có:

       0 0 z .z 1 i x iy x y y x i; z .z x y y x i.           

Như vậy   0 0 z z z z 1 0 2 x y 1 0 2x 2y 1 0.        

Tập hợp các điểm M là đường thẳng có phương trình 2x 2y 1 0.  

Ví dụ 2. Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z trong các trường hợp sau: {Đường tròn }

a)   z 3 4i 2    ; b)   z i 1 i z   

c)

2 3 z 2iz 2i z 0    ; d) 2iz 1 5   .

Giải

a) Đặt   z x yi, x,y    . Lúc đó:

    

        2 2 2 2

z 3 4i 2 x yi 3 4i 2 x 3 y 4 i 2

x 3 y 4 2 x 3 y 4 4

            

         

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa đề bài là đường tròn tâm   I 3; 4  bán kính R 2. 

b) Đặt   z x yi, x,y    . Lúc đó:

         

            2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 …