Tuyển tập 50 bài toán điển hình về min - Max trong các đề thi thử THPT quốc gia 2015

TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH

MIN - MAX

CẨM NANG CHO MÙA THI

NGUYỄN HỮU BIỂN

https://www.facebook.com/ng.huubien Email: ng.huubien@gmail.com

(ÔN THI THPT QUỐC GIA)

Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

ThuVienDeThi.com

TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015

Trang 1 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

Bài 1: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn: 1 x y z + + =

Tìm giá trị nhỏ nhất của: x y y z z x P

xy z yz x zx y

+ + + = + + + + +

Hướng dẫn Ta có 1 1 + + = ⇒ + = − x y z x y z , ta có: 1 1

1 (1 )(1 )

+ − − = = + + − − − −

x y z z

xy z xy x y x y

1 1

1 (1 )(1 )

+ − − = = + + − − − −

y z x x

yz x yz y z y z

1 1

1 (1 )(1 )

+ − − = = + + − − − −

z x y y

zx y zx x z x z

Khi đó + + + = + + + + +

x y y z z x P

xy z yz x zx y

= 1

(1 )(1 )

−

− −

z

x y

+ 1

(1 )(1 )

−

− −

x

y z

+ 1

(1 )(1 )

−

− −

y

x z

3 1 1 1 3 . . 3 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) − − − ≥ = − − − − − − z x y x y y z x z .

Vậy 3 = MinP đạt được khi 1 3 = = = x y z

Bài 2: Cho x, y, z là ba số thực tùy ý thỏa mãn x + y + z = 3.

Chứng minh rằng với 1 a ∀≥ ta luôn có : 1 1 1 . x y z x y z x y z a a a a a a + + ≥ + +

Hướng dẫn

* Với a = 1 ta thấy BĐT đúng .

* Ta xét khi a > 1.

Hàm số y = 1 1

t

t y a a   = =    

nghịch biến với t R ∀∈ , khi a > 1.

Khi đó ta có

Ta có : 1 1 ( )( ) 0, x y x y a a − − ≤ , . x y R ∀ ∈ Suy ra x y y x x y x y a a a a + ≤ + (1)

Chứng minh tương tự y z y z y z z y a a a a + ≤ + (2) z x z x z x x z a a a a + ≤ + (3)

Cộng vế với vế (1) ,(2) và (3) ta được 2( ) x y z x y z x y z y z z x x y a a a a a a + + + + + ≤ + + (4)

Cộng 2 vế của (4) với biểu thức x y z x y z a a a + + ta được

1 1 1 3( ) ( )( ) x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z a a a a a a a a a + + + + + + + + ≤ + + = + + + +

Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác

ThuVienDeThi.com

TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015

Trang 2 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

Suy ra 1 1 1 . x y z x y z x y z a a a a a a + + ≥ + + ( do x + y + z = 3 )

Dấu bằng xảy ra khi chỉ khi x = y = z = 1. (đpcm)

Bài 3: Cho , , a b c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện 3. ab bc ca + + =

Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 1 . 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) a b c b c a c a b abc + + ≤ + + + + + +

Hướng dẫn Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta có: 2 3 3 3 ( ) 1 ab bc ca abc abc = + + ≥ ⇒ ≤.

Suy ra: 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 3 (1). 1 ( ) 3 a b c abc a b c a ab bc ca a a b c a + + ≥ + + = + + = ⇒ ≤ + +

Tương tự ta có: 2 2 1 1 1 1 (2), (3). 1 ( ) 3 1 ( ) 3 b c a b c a b c ≤ ≤ + + + +

Cộng (1), (2) và (3) theo vế với vế ta có:

2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 3 3 ab bc ca a b c b c a c a b c b c abc abc + + + + ≤ + + = = + + + + + + □.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1, 3 1, ( , , 0). abc ab bc ca a b c a b c = + + = ⇒ = = = >

Bài 4: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn 0 ,0 , 2 2 1 2 2 1 > > + − < < − − z y x và 1 − = + + z y x .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 ) ( 8 1 ) ( 1 ) ( 1 z y z x y x P + − + + + + = .

Hướng dẫn

Ta có 2 2 2 2 2 2 ) 1( 8 1 ) 1( 1 ) 1( 1 ) 1 ( 8 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 x z y x y z P + − + + + + = − − − + − − + − − =

Ta sẽ chứng minh yz z y + ≥ + + + 1 1 ) 1( 1 ) 1( 1

2 2

Thật vậy: 2 2 2 2 2 )] 1 )( 1 [( ] ) 1( ) 1 )[( 1( 1 1 ) 1( 1 ) 1( 1 y z y z yz yz z y + + ≥ + + + + ⇔ + ≥ + + + .

2 2 2 ) 1( ) 2 2 2 )( 1( y z zy y z y z yz + + + ≥ + + + + + ⇔

2 2

2

) ( ) 1 )( ( 2 ) 1(

) 1( 2 ) )( 1( ) 1( 2 ) 1 )( ( 2

y z zy y z zy

yz zy z y zy yz zy y z

+ + + + + + ≥

+ + − + + + + + + ⇔

0 4 ) ( ) 1( 2 4 2 ) )( 1( 2 2 2 2 2 ≥ − − − + − + + + − + ⇔ yz z y yz z y yz z y zy

0 ) 1( ) ( 2 2 ≥ − + − ⇔ yz z y yz (hiển nhiên đúng).

Dấu “=” xảy ra khi 1 = = z y .

Ta lại có yz z y ≥ + 2 4 ) 1( 4 ) 1 ( 2

2 2 2 x x z y yz + = − − =       + ≤ ⇒

Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập …