Tài liệu ôn thi môn Toán THPT quốc gia

Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG TẠ QUỐC KHÁNH-TỔ TOÁN

100

Chuyên đề: TỔ HỢP & XÁC SUẤT

A. Tóm tắt lí thuyết

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. CÁC QUY TẮC CƠ BẢN VỀ PHÉP ĐẾM:

a. QUY TẮC CỘNG:

Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương án hoặc phương án . Có cách thực hiện A B n

phương án và cách thực hiện phương án . Khi đó công việc có thể thực hiện bởi cách. A m B n m +

TỔNG QUÁT

Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo một trong phương án . Có cách thực hiện k 1 2 , ,..., k A A A 1n

phương án , cách thực hiện phương án ,...và cách thực hiện phương án . Khi đó công việc có thể 1A 1n 2A kn kA

thực hiện bởi cách. 1 2 ... k n n n + + +

b. QUY TẮC NHÂN:

Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn và . Công đoạn có thể làm theo cách. Với A B A n

mỗi cách thực hiện công đoạn thì công đoạn có thể làm theo cách. Khi đó công việc có thể thực hiện A B m

theo cách. .n m

TỔNG QUÁT

Giả sử một công việc nào đó bao gồm công đoạn . Công đoạn có thể thực hiện theo cách, k 1 2 , ,..., k A A A 1A 1n

công đoạn có thể thực hiện theo cách,..., công đoạn có thể thực hiện theo cách. Khi đó công việc 2A 2n kA kn

có thể thực hiện theo cách. 1 2 . ... k n n n

2. HOÁN VỊ:

a.Định nghĩa :

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n 1). 

Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó

Tập A

b.Định lý :

Ký hiện số hoán vị của n phần tử là Pn , ta có công thức:

(2) nP n! 

n phần tử

Hoán vị  Nhóm có thứ tự  Đủ mặt n phần tử của A

ThuVienDeThi.com

Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG TẠ QUỐC KHÁNH-TỔ TOÁN

101

3.CHỈNH HỢP:

a.Định nghĩa:

Cho tập hợp A gồm n phần tử . Mỗi bộ gồm k ( phần tử sắp thứ tự của tập hợp A ) 1 n k  

được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A.

Tập A

b.Định lý:

Ký hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử là , ta có công thức: k n A

(3) k n

n! A (n k)!  

4. TỔ HỢP:

a.Định nghĩa:

Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi tập con của gồm k phần tử ( ) của A 1 k n  

được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.

Tập A

b. Định lý :

Ký hiệu số tổ hợp chập k của n phần tử là , ta có công thức: k n C

(4) k n

n! C k!(n k)!  

n phần tử

Chỉnh hợp  Nhóm có thứ tự  Gồm k phần tử được lấy từ n phần tử của A

n phần tử

Tổ hợp  Nhóm không có thứ tự  Gồm k phần tử được lấy từ n phần tử của A

ThuVienDeThi.com

Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG TẠ QUỐC KHÁNH-TỔ TOÁN

102

c. Hai tính chất cơ bản của số k n C

a) Tính chất 1: Cho số nguyên dương và số nguyên với . Khi đó n k 0 k n £ £

k n k n n C C

- =

b) Tính chất 2: Cho các số nguyên và với . Khi đó n k 1 k n £ £

1 1 k k k n n n C C C

- + = +

LƯU Ý QUAN TRỌNG:

Các bài toán về giải tích tổ hợp thường là những bài toán về những hành động như :

lập các số từ các số đã cho, sắp xếp một số người hay đồ vật vào những vị trí nhất định ,

lập các nhóm người hay đồ vật thỏa mãn một số điều kiện đã cho v.v...

1. Nếu những hành động này gồm nhiều giai đoạn thì cần tìm số cách chọn cho mỗi

giai đọan rồi áp dụng quy tắc nhân.

2. Những bài toán mà kết quả thay đổi nếu ta thay đổi vị trí của các phần tử ,

thì đây là những bài toán liên quan đến hoán vị và chỉnh hợp.

3. Đối với những bài toán mà kết quả được giữ nguyên khi ta thay đổi vị trí của các phần tử

thì đây là những bài toán về tổ hợp.

5. CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIU-TƠN

Định lý:

( )

0 0 1 1 1 0

0

... ... n n n k n k k n n n n n n

n

k n k k n k

a b C a b C a b C a b C a b

C a b

- -

-

=

+ = + + + + +

= å

6. XÁC SUẤT

a) Định nghĩa

Giả sử phép thử có không gian mẫu là một tập hữu hạn và các kết quả của là đồng khả năng. Nếu là T W T A

một biến cố liên quan với phép thử và là tập các kết quả thuận lợi cho thì xác suất của là một số, T A W A A

kí hiệu là , được xác định bởi công thức ( ) A P

( )

A A P W = W

Như vậy, việc tính xác suất của biến cố trong trường hợp nầy được quy về việc đếm số kết quả có thể của A

phép thử và số kết quả thuận lợi của T A

b) Định lý

Cho biến cố . Xác suất của biến cố đối là A A

( ) ( ) A 1 A P P = …