Đề thi học kỳ I (năm học 2011 2012) môn Toán lớp 12

TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ NỘI – AMSTERRDAM - TỔ TOÁN – TIN ĐỀ THI HỌC KỲ I (NĂM HỌC 2011 – 2012) Môn: Toán lớp 12 Thời gian làm bài: 120 phút.

Bài 1. a) (1.5 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số 2. 3 x y x   

b) (1 điểm) Tìm tất cả các điểm M thuộc  C sao cho khoảng cách từ M đến tiệm

cận đứng bằng 2 lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang.

c) (1 điểm) Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình

2 3. x m x   

Bài 2. a) (1 điểm) Giải phương trình

2 2 2 2 1 2 1 2 25 9 34.15 . x x x x x x       

b) (1 điểm) Giải phương trình     2 3 3 3 5 log 9 19 log 12 0. x x x x     

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và vuông góc với mặt đáy.

a) (1 điểm) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

b) (1 điểm) Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

c) (1 điểm) Gọi   N là hình nón có đáy là đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD

và chiều cao là chiều cao của tam giác đều SAB. Tính tỷ số giữa diện tích mặt cầu

ngoại tiếp hình chóp S.ABCD và diện tích toàn phần của hình nón  . N

d) (1 điểm) Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM x  với 0 . x a   Tìm vị trí của M trên SA sao cho mặt phẳng   MCD chia khối chóp .S ABCD thành hai phần có

thể tích bằng nhau.

Câu 4. (0.5 điểm) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình 2 2 4 mx x x    có hai

nghiệm phân biệt trên đoạn   0;4 .

-------- HẾT --------

www.VNMATH.com

ThuVienDeThi.com

1

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KỲ I MÔN TOÁN LỚP 12 NĂM HỌC 2011 – 2012

Bài Đáp án Điểm Bài 1 (3,5 điểm)

a. (1,5 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.

 2 . 3 x y C x   

 Tập xác định:  \ 3 . D 

 Sự biến thiên:  Giới hạn và tiệm cận: lim lim 1 x x y y     Tiệm cận ngang: 1. y 

3 3 lim ; lim x x y       Tiệm cận đứng 3. x 

 Chiều biến thiên:   

2 5 ' 0 3 y x x D x       hàm số nghịch biến trên

các khoảng   ;3  và   3; . 

0,5

 Bảng biến thiên:

x  3  'y   y 1 

 1

0,5

 Đồ thị: Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận giao điểm của 2 đường tiệm cận làm tâm đối xứng.

0,5

b. (1 điểm) Khoảng cách đến TCĐ bằng 2 lần đến TCN

Giả sử   0 0

0

5 ;1 , 3 . 3 M x C x x           Khi đó: Khoảng cách từ M đến TCĐ

là

0 1 0 2 2 1. 3 3. 1 0

x d x      Khoảng cách từ M đến TCN là

0

0 2 2 2 0

1 0. 1 1 3 5 . 3 0 1

x x d x

      

0,5

www.VNMATH.com

ThuVienDeThi.com

2

Theo giả thiết ta có   2

1 2 0 0

0

10 2 3 3 10. 3         d d x x x

0 10 3 10 3 10;1 2 x M             hoặc 10 3 10;1 . 2 M        

c. (1 điểm) Biện luận số nghiệm của phương trình Dễ thấy 3 x  không là nghiệm nên phương trình tương đương với 2 . 3 x m x    Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đường

thẳng y m  và đồ thị  ' C của hàm số 2 . 3 x y x   

Ta có:

2 , 3 2 3 , 2 3 , 3 3

x x x x y x x x x

               

do đó  ' C được suy ra từ  C bằng cách:

Giữ nguyên phần đồ thị  C ứng với 3; x  lấy đối xứng phần đồ thị của  C ứng với 3 x  qua Ox. Ta được đồ thị  ' C như hình vẽ.

0,5

Từ hình vẽ suy ra: * Với 1: m  Phương trình vô nghiệm. * Với 1 1: m   Phương trình có nghiệm duy nhất. * Với 1: m  Phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Ghi chú: Học sinh không lập luận để suy ra đồ thị  ' C thì không cho điểm tối đa.

0,5

a. (1 điểm) Giải phương trình

Bài 2 (2 điểm)

Phương trình tương đương

2 2 2 2 2 2 25.25 9.9 34.15 x x x x x x      2 2 2 2 2 2 2 2 25 9 5 3 25. 9. 34 25 34 0 15 15 3 5

x x x x x x x x                                   

Đặt

2 2 5 0 3

x x t

         PT trở thành: 2 9 25 34 0 25 34 9 0        t t t t 9 1 . 25   t t

0,5

www.VNMATH.com

ThuVienDeThi.com