Toán học - Chuyên đề 1 Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan

Ñeà cöông toaùn THPT 2016

1 | P a g e

CHUYÊN ĐỀ 1.

KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 1. Chủ đề 1: Bài toán về tiếp tuyến 1.1. Dạng 1: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm 0 0 M( , ) ( ) : ( ) x y C y f x  

* Tính ' '( ) y f x  ; tính '

0 ( ) k f x  (hệ số góc của tiếp tuyến)

* Tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( ) y f x  tại điểm   0 0 ; M x y có phương trình

  ' 0 0 0 ( ) y y f x x x    với 0 0 ( ) y f x 

Ví dụ 1: Cho hàm số 3 3 5 y x x    (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): a) Tại điểm A (-1; 7). b) Tại điểm có hoành độ x = 2. c) Tại điểm có tung độ y =5.

Giải: a) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm 0 0 0 ( ; ) M x y có dạng: 0 0 0 '( )( ) y y f x x x   

Ta có 2 ' 3 3 y x   '( 1) 0 y    .

Do đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(-1; 7) là: 7 0 y   hay y = 7.

b) Từ 2 7 x y    . y’(2) = 9. Do đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 2 là:

7 9( 2) 7 9 18 9 11 y x y x y x          

c) Ta có: 3 3

0

5 3 5 5 3 0 3

3

x

y x x x x x

x

               

+) Phương trình tiếp tuyến tại của (C) tại điểm (0; 5). Ta có y’(0) = -3. Do đó phương trình tiếp tuyến là: 5 3( 0) y x    hay y = -3x +5.

+) Phương trình tiếp tuyến tại của (C) tại điểm ( 3;5)  .

2 '( 3) 3( 3) 3 6 y     

Do đó phương trình tiếp tuyến là: 5 6( 3) y x    hay 6 6 3 5 y x   .

+) Tương tự phương trình tiếp tuyến của (C) tại ( 3;5)  là: 6 6 3 5 y x    .

Ví dụ 2: Cho đồ thị (C) của hàm số 3 2 2 2 4 y x x x     . a) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành. b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục tung. c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm x0 thỏa mãn y”(x0) = 0.

ThuVienDeThi.com

Ñeà cöông toaùn THPT 2016

2 | P a g e

Giải: Ta có 2 ' 3 4 2 y x x    . Gọi   0 0 ; M x y là tiếp điểm thì tiếp tuyến có phương trình:

0 0 0 0 0 0 '( )( ) '( )( ) (1) y y y x x x y y x x x y       

a) Khi ( ) M C Ox   thì y0 = 0 và x0 là nghiệm phương trình:

3 2 2 2 4 0 2 x x x x       ; y’(2) = 6, thay các giá trị đã biết vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến: 6( 2) y x  

b) Khi ( ) M C Oy   thì x0 = 0 0 (0) 4 y y    và 0 '( ) '(0) 2 y x y   , thay các giá trị đã

biết vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến: 2 4 y x   . c) Khi x0 là nghiệm phương trình y”= 0. Ta có: y” = 6x – 4.

y” = 0 0 0 2 2 88 6 4 0 3 3 27 x x x y y              

; 0

2 2 '( ) ' 3 3 y x y        

Thay các giá trị đã biết vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến: 2 100 3 27 y x  

Ví dụ 3: Cho hàm số 3 3 1 y x x    (C) a) Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tai điểm có hoành độ x=2. b)Tiếp tuyến d cắt lại đồ thị (C) tại điểm N, tìm tọa độ của điểm N.

Giải a) Tiếp tuyến d tại điểm M của đồ thị (C) có hoành độ 0 0 2 3 x y   

Ta có 2

0 '( ) 3 3 '( ) '(2) 9 y x x y x y     

Phương trình tiếp tuyến d tại điểm M của đồ thị (C) là

0 0 0 '( )( ) 9( 2) 3 9 15 y y x x x y y x y x          

Vậy phương trình tiếp tuyến d tại điểm M của đồ thị (C) là 9 15 y x   b) Giả sử tiếp tuyến d cắt (C) tại N

Xét phương trình    3 3 2 2 3 1 9 15 12 16 0 2 2 8 0 4

x x x x x x x x x x

               

Vậy   4; 51 N   là điểm cần tìm

Ví dụ 4: Cho hàm số 3 3 1 ( ) y x x C    và điểm 0 0 ( , ) A x y  (C), tiếp tuyến của đồ thị (C) tại

điểm A cắt (C) tại điểm B khác điểm A. tìm hoành độ điểm B theo 0x

Lời giải: Vì điểm 0 0 ( , ) A x y  (C) 3 0 0 0 3 1 y x x     , ' 2 ' 2 0 0 3 3 ( ) 3 3 y x y x x     

Tiếp tuyến của đồ thị hàm có dạng:

' 2 3 0 0 0 0 0 0 0

2 3 0 0 0

( )( ) (3 3)( ) 3 1

(3 3)( ) 2 1 ( )

y y x x x y y x x x x x

y x x x x d

         

     

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C):

ThuVienDeThi.com