Toán học - Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

V. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1. Sự đồng biến, nghịch biến (ĐB, NB) của hàm số

Định lí 1: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.

a) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 tại hữu hạn điểm) thì f ĐB trên I.

b) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 tại hữu hạn điểm) thì f NB trên I.

c) Nếu f(x) = 0, x  I thì f không đổi trên I.

2. Cực đại, cực tiểu (CĐ, CT) của hàm số

Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên (a; b)\{x0}

a) Nếu f (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì f đạt CT tại x0.

b) Nếu f (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì f đạt CĐ tại x0.

Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x0,

f (x0) = 0 và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0.

a) Nếu f (x0) < 0 thì f đạt CĐ tại x0.

b) Nếu f (x0) > 0 thì f đạt CT tại x0.

3. GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn

Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. - Tính f (x). - Giải phương trình f (x) = 0 tìm được các nghiệm x1, x2, …, xn trên [a; b] . - Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn). - So sánh các giá trị vừa tính và kết luận.

    1 2 [ ; ] max ( ) max ( ), ( ), ( ), ( ),..., ( ) n a b M f x f a f b f x f x f x

    1 2 [ ; ] min ( ) min ( ), ( ), ( ), ( ),..., ( ) n a b m f x f a f b f x f x f x

4. Tiệm cận  Đường thẳng  0 x x đgl đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

 ( ) y f x nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

 



0 lim ( ) x x

f x ;

 



0 lim ( ) x x

f x ;

 



0 lim ( ) x x

f x ;

 



0 lim ( ) x x

f x

 Đường thẳng  0 y y đgl đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

 ( ) y f x nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

  0 lim ( ) x f x y ;

  0 lim ( ) x f x y

5. Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số  Tìm tập xác định của hàm số.  Xét sự biến thiên của hàm số: + Tính y. + Tìm các điểm tại đó đạo hàm y bằng 0 hoặc không xác định. + Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có). + Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị

của hàm số.  Vẽ đồ thị của hàm số: + Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị. + Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị như giao điểm của đồ thị với

các trục toạ độ. Có thể tìm thêm một số điểm thuộc đồ thị để có thể vẽ chính xác hơn. + Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục, tâm đối xứng (nếu có) của đồ thị.

GV: BÙI VĂN THANH – CÔNG THỨC ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

VI. HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LÔGARIT

0 1 a  log 1 0 a 

1 a a  log 1 a a 

1 n

n a

a

 log b a a b 

. a a a     loga b a b 

a a a



  log ( ) log log a a a bc b c  

a a b b

 

       

log log log a a a b b c c       

( ) . ab a b     log log a a b b 

. ( ) a a    log log log

a b

a

c c b 

. n n n ab a b  1 log log a

b b a 

n n

n a a b b  1 log log ( 0) a a c c    

 

p n p n a a    ln log 2,718 e b b e  

m n mn a a  10 lg log log b b b  

loga a b b     log log a a b b   

   1 0 M N a a M N a      loga b a b   

1: a a a      log log a a b c b c   

0 a 1:a a       1:log log a a a b c b c    

0 1:log log a a a b c b c     

\ VII. NGUYÊN HÀM

0dx C   (0 1) ln

x x a a dx C a a     

dx x C    cos sin xdx x C   

1

,( 1) 1 x x dx C        sin cos xdx x C   

1 ln dx x C x    2 1 tan cos

dx x C x

  

x x e dx e C    2 1 cot sin

dx x C x

  

1 cos( ) sin( ) ax b dx ax b C a      1 ax b ax b e dx e C a

    

1 sin( ) cos( ) ax b dx ax b C a      1 1 ln dx ax b C ax b a     

    2

1 1 tan cos

dx ax b C a ax b

      

  2

1 1 cot sin

dx ax b C a ax b

    

HÃY ƢỚC MƠ NHỮNG ĐIỀU TỐT ĐẸP VÀ ĐỪNG BAO GIỜ LÙI BƢỚC TRƢỚC KHÓ KHĂN. CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG!

VIII. TÍCH PHÂN

1. Định nghĩa: ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a

f x dx F x F b F a     (F là nguyên hàm của f)

2. Phƣơng pháp tính tích …