Giải tích lớp 12 - Khảo sát hàm số

Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số

Trang 1

CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

1. Đinh nghĩa:

Hàm số f đồng biến trên K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) < f(x2)

Hàm số f nghịch biến trên K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) > f(x2)

2. Điều kiện cần:

Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.

a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f(x)  0, x  I

b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f(x)  0, x  I

3. Điều kiện đủ:

Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.

a) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I.

b) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I.

c) Nếu f(x) = 0, x  I thì f không đổi trên I.

Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó.

VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số

Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau:

– Tìm tập xác định của hàm số.

– Tính y. Tìm các điểm mà tại đó y = 0 hoặc y không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn)

– Lập bảng xét dấu y (bảng biến thiên). Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Bài 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

a) b) c) 2 2 4 5 y x x   

2 5 4 4 x y x    2 4 3 y x x   

d) e) f) 3 2 2 2 y x x x     2 (4 )( 1) y x x    3 2 3 4 1 y x x x    

g) h) i) 4 2 1 2 1 4 y x x    4 2 2 3 y x x    4 2 1 1 2 10 10 y x x   

k) l) m) 2 1 5 x y x

  

1 2

x y x   

1 1 1 y x 

n) o) p) 2 2 26 2 x x y x

   

1 3 1 y x x 

2 4 15 9 3 x x y x   

ThuVienDeThi.com

Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng

Trang 2

Bài 2. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

a) b) c) 4 3 2 6 8 3 1 y x x x    

2

2

1

4

x y

x

 



2

2

1

1

x x y

x x

  

 

d) e) f) 2 2 1 x y

x

  2 3 2

x y

x x 

 

3 2 2 y x x   

g) h) i) 2 1 3 y x x    2 2 y x x   2 2 y x x  

k) l) sin2 2 2 y x x             sin2 2 2 y x x x             

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến

trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định)

Cho hàm số , m là tham số, có tập xác định D. ( , ) y f x m 

 Hàm số f đồng biến trên D  y  0, x  D.

 Hàm số f nghịch biến trên D  y  0, x  D.

Từ đó suy ra điều kiện của m.

Chú ý:

1) y = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm.

2) Nếu thì: y ax bx c 2 '   

 

0 0 ' 0, 0

0

a b c y x R a

             

0 0 ' 0, 0

0

a b c y x R a

             

3) Định lí về dấu của tam thức bậc hai : 2 ( ) g x ax bx c   

 Nếu  < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a.

 Nếu  = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x = ) 2

b

a 

 Nếu  > 0 thì g(x) có hai nghiệm x1, x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a.

4) So sánh các nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai với số 0: 2 ( ) g x ax bx c   

   1 2

0 0 0 0 x x P S

         



1 2

0 0 0 0 x x P S

         



1 2 0 0 x x P    

5) Để hàm số có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x1; x2) bằng 3 2 y ax bx cx d     d thì ta thực hiện các bước sau:

 Tính y.

 Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến:

(1) 0

0 a    

ThuVienDeThi.com