Toán - Khảo sát hàm số Sự tương giao

Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng

Trang 32

KSHS 03: SỰ TƯƠNG GIAO

Dạng 1: Sự tương giao của đồ thị hàm số bậc 3: y f x ax bx cx d a 3 2 ( ) ( 0)       A. Kiến thức cơ bản

 Cho hai đồ thị (C1): và (C2): . Để tìm hoành độ giao điểm của (C1) và y f x ( )  y g x ( )  (C2) ta giải phương trình: (*) (gọi là phương trình hoành độ giao điểm). f x g x ( ) ( )  Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của hai đồ thị.  Số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số bậc ba: với trục hoành y f x ax bx cx d 3 2 ( )     

bằng số nghiệm của phương trình (1) ax bx cx d 3 2 0     B. Một số dạng câu hỏi thường gặp

1. Tìm đièu kiện để đồ thị (C) và trục hoành có 1 điểm chung duy nhất.

  Phương trình (1) có 1 nghiệm duy nhất

CÑ CT

f không có cực trị

f coù cöïc trò y y

2 . 0

     

2. Tìm đièu kiện để đồ thị (C) và trục hoành có 2 điểm chung phân biệt.

 (C) tiếp xúc với Ox   Phương trình (1) có đúng 2 nghiệm CÑ CT

f coù cöïc trò y y

2 . 0   

3. Tìm đièu kiện để đồ thị (C) và trục hoành có 3 điểm chung phân biệt.

  Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt CÑ CT

f coù cöïc trò y y

2 . 0   

4. Tìm đièu kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương.

  Phương trình (1) có 3 nghiệm dương phân biệt. CÑ CT

CÑ CT

f coù cöïc trò y y x x a f hay ad

2 . 0 0, 0 . (0) 0 ( 0)

      

  

ThuVienDeThi.com

Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số

Trang 33

5. Tìm đièu kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm.

  Phương trình (1) có 3 nghiệm âm phân biệt. CÑ CT

CÑ CT

f coù cöïc trò y y x x a f hay ad

2 . 0 0, 0 . (0) 0 ( 0)

      

  

6. Tìm đièu kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ tạo thành một cấp số cộng.

lập thành một cấp số cộng  a b c , , a c b 2   – Giả sử (1) có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng. x x x 1 2 3 , ,

– Viết (1) dưới dạng:  ax bx cx d 3 2 0     a x x x x x x 1 2 3 ( )( )( ) 0    

 a x x x x x x x x x x x x x x x 3 2 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 ( ) ( ) 0            

– lập thành cấp số cộng   là 1 nghiệm của (1). x x x 1 2 3 , , x x x 1 3 2 2   b x a 2 3 

– Thế vào (1) để suy ra điều kiện cần tìm. b x a 2 3 

Chú ý: Đây chỉ là điều kiện cần nên phải thử lại kết quả tìm được. 7. Tìm đièu kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ tạo thành một cấp số nhân.

lập thành một cấp số nhân  a b c , , ac b2  – Giả sử (1) có 3 nghiệm lập thành cấp số nhân. x x x 1 2 3 , ,

– Viết (1) dưới dạng:  ax bx cx d 3 2 0     a x x x x x x 1 2 3 ( )( )( ) 0    

 a x x x x x x x x x x x x x x x 3 2 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 ( ) ( ) 0            

– lập thành cấp số nhân   là 1 nghiệm của (1). x x x 1 2 3 , , x x x2 1 3 2  d x a

3 2 

– Thế vào (1) để suy ra điều kiện cần tìm. d x a 3 2  

Chú ý: Đây chỉ là điều kiện cần nên phải thử lại kết quả tìm được.

ThuVienDeThi.com

Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng

Trang 34

Câu 1. Cho hàm số có đồ thị (Cm) y x mx 3 2    1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = –3. 2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.

 PT hoành độ giao điểm của (Cm) với trục hoành: x mx 3 2 0    m x x x

2 2 ( 0)    

Xét hàm số: x f x x f x x x x x

3 2

2 2 2 2 2 2 ( ) '( ) 2        

Ta có bảng biến thiên:

f x ( ) 

f x ( )

 0 1 

0 + + – –3





 

x

Đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất . m 3  

Câu 2. Cho hàm số (Cm) ( m là tham số). y f x x mx m 3 2 ( ) 2     1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 3. 2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.

 Ta có: y x mx x x m 2 3 2 (3 2 )    

+ Khi m = 0 thì (1) đồng biến trên R thoả yêu cầu bài toán. y x2 3 0    

+ Khi thì (1) có 2 cực trị . Do đó đồ thị cắt Ox tại duy nhất 1 điểm khi m 0  m x x 1 2

2 0 , 3  

 f x f x 1 2 ( ). 0  m m m m m 3 2 2 4 2 2 2 0 4 1 0 27 27

                 …