Toán - Khảo sát hàm số Tiếp tuyến

Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng

Trang 54

KSHS 04: TIẾP TUYẾN

A. Kiến thức cơ bản

 Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số tại điểm là hệ số góc y f x ( )  x0 của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm .   M x f x 0 0 0 ; ( )

Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm là:   M x f x 0 0 0 ; ( )

y y f x x x 0 0 0 – ( ).( – )     y f x 0 0 ( ) 

 Điều kiện cần và đủ để hai đường (C1): và (C2): tiếp xúc nhau là hệ y f x ( )  y g x ( )  phương trình sau có nghiệm:

(*) f x g x f x g x ( ) ( ) '( ) '( )      Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó.  Nếu và (C2): thì C y px q 1) ( :   y ax bx c 2   

(C1) và (C2) tiếp xúc nhau  phương trình có nghiệm kép. ax bx c px q 2     B. Một số dạng câu hỏi thường gặp

1. Viết phương trình tiếp tuyến  của (C): tại điểm : y f x ( )  M x y C 0 0 ( ; ) ( ) 

 Nếu cho thì tìm . x0 y f x 0 0 ( ) 

Nếu cho thì tìm là nghiệm của phương trình . y0 x0 f x y0 ( ) 

 Tính . Suy ra . y f x ( )    y x f x 0 0 ( ) ( )   

 Phương trình tiếp tuyến  là: . y y f x x x 0 0 0 – ( ).( – )  

2. Viết phương trình tiếp tuyến  của (C): , biết  có hệ số góc k cho trước. y f x ( )  Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.  Gọi là tiếp điểm. Tính . M x y 0 0 ( ; ) f x0 ( ) 

  có hệ số góc k  (1) f x k 0 ( )  

 Giải phương trình (1), tìm được và tính . Từ đó viết phương trình của . x0 y f x 0 0 ( )  Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.  Phương trình đường thẳng  có dạng: . y kx m     tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

(*) f x kx m f x k ( )

'( )        Giải hệ (*), tìm được m. Từ đó viết phương trình của . Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến  có thể được cho gián tiếp như sau: +  tạo với trục hoành một góc  thì . k a tan  +  song song với đường thẳng d: thì y ax b   k a 

+  vuông góc với đường thẳng thì d y ax b a : ( 0)    k a 1 

+  tạo với đường thẳng một góc  thì d y ax b :   k a ka tan 1     3. Viết phương trình tiếp tuyến  của (C): , biết  đi qua điểm . y f x ( )  A A A x y ( ; ) Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.  Gọi là tiếp điểm. Khi đó: . M x y 0 0 ( ; ) y f x y x f x 0 0 0 0 ( ), ( ) ( )    

 Phương trình tiếp tuyến  tại M: y y f x x x 0 0 0 – ( ).( – )  

  đi qua nên: (2) A A A x y ( ; ) A A y y f x x x 0 0 0 – ( ).( – )  

 Giải phương trình (2), tìm được . Từ đó viết phương trình của . x0

ThuVienDeThi.com

Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số

Trang 55

Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.  Phương trình đường thẳng  đi qua và có hệ số góc k: A A A x y ( ; ) A A y y k x x – ( – ) 

  tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

(*) A A f x k x x y f x k ( ) ( ) '( )         Giải hệ (*), tìm được x (suy ra k). Từ đó viết phương trình tiếp tuyến . 4. Viết phương trình tiếp tuyến  của (C): , biết  tạo với trục Ox một góc . y f x ( )   Gọi là tiếp điểm. Tiếp tuyến có hệ số góc . M x y 0 0 ( ; ) k f x0 ( )  

  tạo với trục Ox một góc   . Giải phương trình tìm được . f x0 ( ) tan   a x0  Phương trình tiếp tuyến  tại M: y y f x x x 0 0 0 – ( ).( – )  

5. Viết phương trình tiếp tuyến  của (C): , biết  tạo với đường thẳng d: y f x ( )  một góc . y ax b    Gọi là tiếp điểm. Tiếp tuyến có hệ số góc . M x y 0 0 ( ; ) k f x0 ( )  

  tạo với d một góc   . Giải phương trình tìm được . k a ka tan 1     x0

 Phương trình tiếp tuyến  tại M: y y f x x x 0 0 0 – ( ).( – )  

6. Viết phương trình tiếp tuyến  của (C): , biết  cắt hai trục toạ độ tại A và B y f x ( )  sao cho tam giác OAB vuông cân hoặc có diện tích S cho trước.

 Gọi là tiếp điểm. Tiếp tuyến có hệ số góc . M x y 0 0 ( ; ) k f x0 ( )  

 OAB vuông cân   tạo với Ox một góc và O  . (a) 0 45  . (b) OAB S S OA OB S . 2      Giải (a) hoặc (b) tìm được . Từ đó viết phương trình tiếp tuyến . x0 8. Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị . C y f x C y g x 1 2 ( ): ( ), ( ): ( )  

a) Gọi : là tiếp tuyến chung …