Toán - Khảo sát hàm số Tính đơn điệu của hàm số

Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số

Trang 1

KSHS 01: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

A. Kiến thức cơ bản

Giả sử hàm số có tập xác định D. y f x ( ) 

 Hàm số f đồng biến trên D  và chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm y x D 0,   y 0  thuộc D.  Hàm số f nghịch biến trên D  và chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm y x D 0,   y 0  thuộc D.

 Nếu thì: y ax bx c a 2 ' ( 0)    

+ + a y x R 0 ' 0, 0       

a y x R 0 ' 0, 0       

 Định lí về dấu của tam thức bậc hai : g x ax bx c a 2 ( ) ( 0)    

+ Nếu  < 0 thì luôn cùng dấu với a. g x ( )

+ Nếu  = 0 thì luôn cùng dấu với a (trừ ) g x ( ) b x a 2 

+ Nếu  > 0 thì có hai nghiệm và trong khoảng hai nghiệm thì khác dấu g x ( ) x x 1 2 , g x ( ) với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì cùng dấu với a. g x ( )

 So sánh các nghiệm của tam thức bậc hai với số 0: x x 1 2 , g x ax bx c 2 ( )   

+ + + x x P S 1 2

0 0 0 0

          

x x P S 1 2

0 0 0 0

          

x x P 1 2 0 0    

 ; a b g x m x a b g x m ( ; ) ( ) , ( ; ) max ( )    

a b g x m x a b g x m ( ; ) ( ) , ( ; ) min ( )    

B. Một số dạng câu hỏi thường gặp

1. Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng y f x ( )  xác định).  Hàm số f đồng biến trên D  và chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm y x D 0,   y 0  thuộc D.  Hàm số f nghịch biến trên D  và chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm y x D 0,   y 0  thuộc D.

 Nếu thì: y ax bx c a 2 ' ( 0)    

+ + a y x R 0 ' 0, 0       

a y x R 0 ' 0, 0       

2. Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên khoảng . y f x ax bx cx d 3 2 ( )      ( ; ) a b

Ta có: . y f x ax bx c 2 ( ) 3 2      

a) Hàm số f đồng biến trên  và chỉ xảy ra tại một số hữu ( ; ) a b y x 0, ( ; )  a b y 0  hạn điểm thuộc . ( ; ) a b

Trường hợp 1:

 Nếu bất phương trình (*) f x h m g x ( ) 0 ( ) ( )    

thì f đồng biến trên  ( ; ) a b h m g x ( ; ) ( ) max ( ) 

a b

 Nếu bất phương trình (**) f x h m g x ( ) 0 ( ) ( )    

ThuVienDeThi.com

Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng

Trang 2

thì f đồng biến trên  ( ; ) a b h m g x ( ; ) ( ) min ( ) 

a b Trường hợp 2: Nếu bất phương trình không đưa được về dạng (*) thì đặt . f x ( ) 0   t x  a

Khi đó ta có: . y g t at a b t a b c 2 2 ( ) 3 2(3 ) 3 2          

– Hàm số f đồng biến trên khoảng   a ( ; )  g t t ( ) 0, 0  

a a

S P

0 0 0 0 0

0

 

            

– Hàm số f đồng biến trên khoảng   a ( ; )  g t t ( ) 0, 0  

a a

S P

0 0 0 0 0

0

 

             b) Hàm số f nghịch biến trên  và chỉ xảy ra tại một số hữu ( ; ) a b y x 0, ( ; )  a b y 0  hạn điểm thuộc . ( ; ) a b

Trường hợp 1:

 Nếu bất phương trình (*) f x h m g x ( ) 0 ( ) ( )    

thì f nghịch biến trên  ( ; ) a b h m g x ( ; ) ( ) max ( ) 

a b

 Nếu bất phương trình (**) f x h m g x ( ) 0 ( ) ( )    

thì f nghịch biến trên  ( ; ) a b h m g x ( ; ) ( ) min ( ) 

a b Trường hợp 2: Nếu bất phương trình không đưa được về dạng (*) thì đặt . f x ( ) 0   t x  a

Khi đó ta có: . y g t at a b t a b c 2 2 ( ) 3 2(3 ) 3 2          

– Hàm số f nghịch biến trên khoảng   a ( ; )  g t t ( ) 0, 0  

a a

S P

0 0 0 0 0

0

 

            

– Hàm số f nghịch biến trên khoảng   a ( ; )  g t t ( ) 0, 0  

a a

S P

0 0 0 0 0

0

 

            

3. Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên khoảng có độ dài y f x ax bx cx d 3 2 ( )      bằng k cho trước.

 f đơn điệu trên khoảng  có 2 nghiệm phân biệt  (1) x x 1 2 ( ; ) y 0  x x 1 2 , a 0

0     

 Biến đổi thành (2) x x d 1 2   x x x x d 2 2 1 2 1 2 ( ) 4   

 Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m.  Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.

4. Tìm điều kiện để hàm số ax bx c y a d dx e

2

(2), ( , 0)      a) Đồng biến trên . ( ; )  

b) Đồng biến trên . ( ; ) 

c) Đồng biến …