Toán 12 - Khảo sát hàm số

Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số

Trang 9

KSHS 02: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Dạng 1: Cực trị của hàm số bậc 3: y f x ax bx cx d 3 2 ( )      A. Kiến thức cơ bản

 Hàm số có cực đại, cực tiểu  phương trình có 2 nghiệm phân biệt. y 0   Hoành độ của các điểm cực trị là các nghiệm của phương trình . x x 1 2 , y 0   Để viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu, ta có thể sử dụng phương pháp tách đạo hàm.

– Phân tích . y f x q x h x ( ). ( ) ( )    – Suy ra . y h x y h x 1 1 2 2 ( ), ( )   Do đó phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu là: . y h x ( ) 

 Gọi  là góc giữa hai đường thẳng thì d y k x b d y k x b 1 1 1 2 2 2 : , :     k k k k

1 2

1 2 tan 1

   a

B. Một số dạng câu hỏi thường gặp

Gọi k là hệ số góc của đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. 1. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu song song (vuông góc) với đường thẳng . d y px q :   – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.

– Giải điều kiện: (hoặc ). k p  k p 1 

2. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng

một góc . d y px q :   a – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.

– Giải điều kiện: . (Đặc biệt nếu d  Ox, thì giải điều kiện: ) k p kp tan 1

   a k tan  a

3. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu cắt hai trục Ox, Oy tại hai điểm A, B sao cho IAB có diện tích S cho trước (với I là điểm cho trước).

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Viết phương trình đường thẳng  đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. – Tìm giao điểm A, B của  với các trục Ox, Oy. – Giải điều kiện . IAB S S   4. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho IAB có diện tích S cho trước (với I là điểm cho trước).

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Viết phương trình đường thẳng  đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. – Giải điều kiện . IAB S S   5. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B đối xứng qua đường thẳng d cho trước.

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Viết phương trình đường thẳng  đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. – Gọi I là trung điểm của AB.

– Giải điều kiện: . d I d      5. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cách đều đường thẳng d cho trước.

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Giải điều kiện: . d A d d B d ( , ) ( , ) 

ThuVienDeThi.com

Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng

Trang 10

6. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B và khoảng cách giữa hai điểm A, B là lớn nhất (nhỏ nhất).

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Tìm toạ độ các điểm cực trị A, B (có thể dùng phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị).

– Tính AB. Dùng phương pháp hàm số để tìm GTLN (GTNN) của AB. 7. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu và hoành độ các điểm cực trị thoả hệ thức cho trước.

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Phân tích hệ thức để áp dụng định lí Vi-et. 8. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị trên khoảng hoặc . K1 ( ; )   K2 ( ; )   

. y f x ax bx c 2 ' ( ) 3 2    

Đặt . Khi đó: t x  a y g t at a b t a b c 2 2 ' ( ) 3 2(3 ) 3 2          

Hàm số có cực trị thuộc K1 ( ; )   Hàm số có cực trị thuộc K2 ( ; )    Hàm số có cực trị trên khoảng ( ; )   có nghiệm trên . f x ( ) 0   ( ; )   có nghiệm t < 0 g t( ) 0  

P

S P

0 ' 0 0

0

         

Hàm số có cực trị trên khoảng ( ; )  có nghiệm trên . f x ( ) 0   ( ; )  có nghiệm t > 0 g t( ) 0  

P

S P

0 ' 0 0

0

         

9. Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị thoả: x x 1 2 , a) b) c) x x 1 2    x x 1 2    x x 1 2  

. y f x ax bx c 2 ' ( ) 3 2    

Đặt . Khi đó: t x  a y g t at a b t a b c 2 2 ' ( ) 3 2(3 ) 3 2          

a) Hàm số có hai cực trị …