Toán - Khảo sát hàm số Biện luận số nghiệm của phương trình

Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số

Trang 75

KSHS 05: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH

Câu 1. Cho hàm số . y x x 3 2 3 1    1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt. x x m m 3 2 3 2 3 3   

 PT  . Đặt x x m m 3 2 3 2 3 3    x x m m 3 2 3 2 3 1 3 1      k m m 3 2 3 1    Số nghiệm của PT bằng số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng d: y k  Dựa vào đồ thị (C) ta có PT có 3 nghiệm phân biệt   k 1 5   m { ( 1;3) \ 0;2} 

Câu 2. Cho hàm số . y x x 3 2 3 2    1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : . m x x

x

2 2 2

1   



 Ta có Do đó số nghiệm của phương trình   m x x x x x m x x

2 2 2 2 2 2 1 , 1. 1          

bằng số giao điểm của và đường thẳng   y x x x C 2 2 2 1 , ( ')     y m x , 1.  

Với nên bao gồm:   f x khi x y x x x f x khi x 2 ( ) 1 2 2 1 ( ) 1           C'

+ Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng x 1.  + Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng qua Ox. x 1  Dựa vào đồ thị ta có:

m < –2 m = –2 –2 < m < 0 m ≥ 0 vô nghiệm 2 nghiệm kép 4 nghiệm phân biệt 2 nghiệm phân biệt

Câu 3. Cho hàm số có đồ thị (C). y x x 4 2 5 4    1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm m để phương trình có 6 nghiệm. x x m 4 2

12 5 4 log   

 Dựa vào đồ thị ta có PT có 6 nghiệm  . m m

9

4 4 12

9 log 12 144 12 4    

Câu 4. Cho hàm số: . y x x 4 2 2 1    1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: (m > 0) x x m 4 2

2 2 1 log 0   

  (*) x x m 4 2

2 2 1 log 0    x x m 4 2

2 2 1 log  

+ Số nghiệm của (*) là số giao điểm của 2 đồ thị và y x x 4 2 2 1    y m 2 log  + Từ đồ thị suy ra:

m 1 0 2   m 1 2  m 1 1 2   m 1  m 1 

2 nghiệm 3 nghiệm 4 nghiệm 2 nghiệm vô nghiệm

Câu 5. Cho hàm số . y f x x x 4 2 ( ) 8 9 1     1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Dựa vào đồ thị (C) hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

ThuVienDeThi.com

Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng

Trang 76

với x x m 4 2 8cos 9cos 0    x [0; ]  

 Xét phương trình: với (1) x x m 4 2 8cos 9cos 0    x [0; ]  

Đặt , phương trình (1) trở thành: (2) t x cos  t t m 4 2 8 9 0    Vì nên , giữa x và t có sự tương ứng một đối một, do đó số nghiệm của x [0; ]   t [ 1;1]  phương trình (1) và (2) bằng nhau. Ta có: (3) t t m 4 2 (2) 8 9 1 1   

Gọi (C1): với và (d): . Phương trình (3) là phương trình y t t 4 2 8 9 1    t [ 1;1]  y m 1  hoành độ giao điểm của (C1) và (d). Chú ý rằng (C1) giống như đồ thị (C) trong miền . x 1 1   Dựa vào đồ thị ta có kết luận sau:

m 0  m 0  m 0 1   m 81 1 32   m 81 32  m 81 32 

vô nghiệm 1 nghiệm 2 nghiệm 4 nghiệm 2 nghiệm vô nghiệm

Câu 6. Cho hàm số (C). x y x 3 4 2    1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm các giá trị của m để phương trình sau có 2 nghiệm trên đoạn : 2 0; 3

      

x x m ( x x 6 6 4 4 sin cos sin cos )   

 Xét phương trình: (*) x x m ( x x 6 6 4 4 sin cos sin cos )   

 (1) x m x 2 2 3 1 1 sin 2 1 sin 2 4 2         

x m x 2 2 4 3sin 2 2 (2 sin 2 )   

Đặt . Với thì . Khi đó (1) trở thành: với t x 2 sin 2  x 2 0; 3

         t 0;1  t m t 3 4 2 2    t 0;1    

Nhận xét : với mỗi ta có : t 0;1    

x t x t x t sin2 sin2 sin2

      

Để (*) có 2 nghiệm thuộc đoạn thì 2 0; 3

      

t t 3 3 ;1 ;1 2 4

              

Dưa vào đồ thị (C) ta có:  . y m y m 3 7 (1) 2 1 2 4 5            m 1 7 2 10  

Câu 7. Cho hàm số x y x

1. 1    1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

x

m x

1

. 1



 

 Số nghiệm của bằng số giao điểm của đồ thị (C): và x

m x

1

1



 

x y

x

1

1

 



y m. 

Dựa vào đồ thị ta suy ra được:

m m 1; 1   m …