Toán - Chuyên đề 1 Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan

GV: NGUYỄN ĐỨC THÀNH 0913.856.544

THPT GANG THÉP

1 CHUYÊN ĐỀ 1. KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 1. Chủ đề 1: Bài toán về tiếp tuyến 1.1. Dạng 1: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm 0 0 M( , ) ( ) : ( ) x y C y f x  

* Tính ' '( ) y f x  ; tính '

0 ( ) k f x  (hệ số góc của tiếp tuyến)

* Tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( ) y f x  tại điểm   0 0 ; M x y có phương trình

  0 0 y k x x y    với 0 0 ( ) y f x 

Bài 1: Cho hàm số 3 3 5 y x x    (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): a) Tại điểm A (-1; 7). b) Tại điểm có hoành độ x = 2. c) Tại điểm có tung độ y =5.

Bài 2: Cho đồ thị (C) của hàm số 3 2 2 2 4 y x x x     . a) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành. b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục tung. c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm x0 thỏa mãn y”(x0) = 0.

Bài 3: Cho hàm số 3 3 1 y x x    (C) a) Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tai điểm có hoành độ x=2. b)Tiếp tuyến d cắt lại đồ thị (C) tại điểm N, tìm tọa độ của điểm N.

Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): 2 1 x y x

   tại các giao điểm của (C) với

đường thẳng (d): 3 2 y x   .

1.2. Dạng 2: Viết tiếp tuyến của đồ thi hàm số ( ) y f x  (C) khi biết trước hệ số góc của

nó

+ Gọi 0 0 ( , ) M x y là tiếp điểm, giải phương trình '

0 0 ( ) f x k x x    , 0 0 ( ) y f x 

+ Đến đây trở về dạng 1,ta dễ dàng lập được tiếp tuyến của đồ thị:

0 0 ( ) y k x x y   

 Các dạng biểu diễn hệ số góc k:

*) Cho trực tiếp: 3 5; 1; 3; ... 7 k k k k    

*) Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = ax + b. Khi đó hệ số góc k = a.

*) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): y = ax + b 1 1 ka k a     .

Bài 5: Cho hàm số 3 2 3 y x x   (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hệ số góc của tiếp tuyến k = -3. Bài 6: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2 3 1 y x x   (C). Biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 9x + 6.

ThuVienDeThi.com

GV: NGUYỄN ĐỨC THÀNH 0913.856.544

THPT GANG THÉP

2

Bài 7: Cho hàm số 3 3 2 y x x    (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến

đó vuông góc với đường thẳng 1 9 y x   .

Bài 8: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số: 4 2 1 2 4 y x x   , biết tiếp tuyến

vuông góc với đường thẳng (d): 5 2010 0 x y    .

Bài 9: Cho hàm số 2 2 3 x y x

   (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng tiếp tuyến

cắt trục hoành tại A, trục tung tại B sao cho tam giác OAB vuông cân tại O, ở đây O là góc tọa độ.

Bài 10: Cho hàm số y = 2 1 1 x x

  có đồ thị (C).

Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A và B thỏa mãn OA = 4OB. 1.3. Dạng 3: Tiếp tuyến đi qua điểm (tham khảo) Cho đồ thị (C): y = f(x). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm ( ; ) A .

Cách giải + Tiếp tuyến có phương trình dạng: 0 0 0 ( ) '( )( ) y f x f x x x    , (với x0 là hoành độ

tiếp điểm). + Tiếp tuyến qua ( ; ) A  nên 0 0 0 ( ) '( )( ) (*) f x f x x     

+ Giải phương trình (*) để tìm x0 rồi suy ra phương trình tiếp tuyến.

Bài 11: Cho đồ thị (C): 3 3 1 y x x   , viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-2; -1). 1.4. Dạng 4. Một số bài toán tiếp tuyến nâng cao. Bài 12: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) của hàm số: 3 3 2 y x x    sao cho tiếp tuyến

của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = 4 2 .

Bài 13: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) của hàm số: 2 1 1 x y x

   sao cho tiếp tuyến của

(C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = 2 10 . Bài 14: Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + mx + 1 có đồ (Cm); (m là tham số). Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0, 1), D, E sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại D và E vuông góc với nhau.

Bài 15: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số: 2 2 1 x y x

   , biết rằng

khoảng cách từ điểm I(-1; 2) …